Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas secantes 03

     
    Justifica (no sólo mediante el dibujo) si forman triángulo las siguientes rectas:
     
    r: y = x –5                    s: (x, y) = (–1, 3) + t ( 2, 4)                   l: x + y = 5
     
    En caso afirmativo, calcula las coordenadas de cada uno de los vértices.
     
     
    Solución:
     
    Pasemos a general las ecuaciones de las tres rectas.
     
     
    Posición relativa de las tres rectas.
     
     
    r y s son secantes.
     
     
    r y l son secantes.
     
     
    s y l son secantes.
     
    Como no hay dos rectas que sean paralelas las tres rectas forman un triángulo, siempre que no se corten en el mismo punto.
     
    Los vértices del triángulo son los puntos de corte de cada dos rectas.
     
     
     
     
     
  • Rectas secantes 02

     
    Halla el valor de a para que las rectas: 3x – 2y = 6; 3x + 4y = 0; y = a x + 1 sean concurrentes y determina su punto de intersección.
     
     
    Solución:
     
    Para que las tres rectas dadas sean concurrentes se han de cortar en un punto, que será la solución del sistema formado por las tres ecuaciones.
     
     
    El punto (4/3, –1) es el punto donde concurren las dos primera rectas y para que lo haga la tercera sustituimos estos valores hallados, en la tercera ecuación.
     
    –1 = a (4/3) + 1 → –3 = 4 a + 3 → 4 a = –6
     
    a = –6/4 → a = –3/2
     
    Por tanto, para que las tres rectas concurran en un punto, a = –3/2 y el punto es: (4/3, –1)
     
     
     
  • Rectas secantes 01

    Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (–2, 3) y por la intersección de las rectas: 3x + y + 1 = 0; x – y = 0.
     
    Solución:
     
    Ecuación punto pendiente de una recta:
     
    y = y0 + m (x – x0)
     
    En este caso x0 = –2 e y0 = 3, por tanto:
     
    y = 3 + m (x +2)
     
    Para poder hallar la ecuación punto pendiente de la recta buscada, nos hace falta hallar su pendiente.
     
    Intersección de las rectas:
     
     
    Pendiente de la recta que buscamos:
     
     
    y = 3 – (13/7) (x +2)
     
    Ahora pasaremos a general:
     
    7y = 21 – 13x – 26 → 13x + 7y + 5 = 0

     

  • Rectas perpendiculares 03

    La diagonal menor AC de un rombo es igual al lado y tiene por extremo los puntos A(3, 1) y C(7, –7). Halla la ecuación de la otra diagonal y los otros vértices.
     
    Solución:
     
    Datos: A (3, 1) y C (7, –7)
     
     
     
    Las diagonales del rombo son perpendiculares entre si y se cortan en el punto medio, por tanto debemos hallar la ecuación de una recta que pasa por M y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y C.
     
    Coordenadas del punto medio M:

     

    Pendiente de la recta que contiene a la diagonal AC:

    Pendiente de la recta que contiene a la diagonal BD:
     
     
    Ecuación punto pendiente de la recta que contiene a la diagonal BD:
     
    y = –3 + (1/2) (x – 5)
     
    Ecuación general:
     
    2y = –6 + x – 5 → x – 2y – 11 = 0
     
    El vértice B es un punto de la recta hallada luego sus coordenadas son:
     
    x = 2y + 11 → B (2y + 11, y)
     
    Como la diagonal menor AC es igual al dado del rombo, se cumplirá que:
     
     
    Los puntos hallados son simétricos con respecto del punto M, es decir los dos vértices opuestos, luego si uno es:
     
     
    entonces el otro es:
     
     
    y viceversa.
     
     

  • Rectas perpendiculares 02

    Halla la proyección del punto A (3, 4) en la recta r: 5x – 2y + 3 = 0
     
    Solución:

     

     

    Según la figura, la proyección del punto A (A’), en la recta r, es el punto de corte de la recta que pasa por A y es perpendicular a r.
     
    Si queremos hallar una recta s que sea perpendicular a r, únicamente tendremos que cambiar los coeficientes de x e y de la recta r y a uno de ellos de signo, por tanto:

    s: 2x + 5 y + C = 0 

    Ahora, para hallar el valor de C debemos tener en cuenta que s pasa por el punto A, y sustituir en la ecuación de s, x por 3 e y por 4, luego:
     
    2 (3) + 5 (4) + C = 0 → 6 + 20 + C = 0 → C = –26
     
        s: 2x + 5y – 26 = 0  
     
    Para averiguar las coordenadas A’, proyección de A en r, basta con resolver el sistema de ecuaciones formado con r y s, es decir:
     
     
    Coordenadas de A’:
    A’ (37/29, 136/29)