El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas
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Aplicaciones. Estimaciones 11
Posted on abril 4th, 2019 No commentsEl número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número, viene expresado en la siguiente tabla:
Nº de horas
0
1
2
3
4
5
Nº de bacterias por unidad de volumen
12
19
23
34
56
62
a) Indica el grado de dependencia lineal. Interprétala
b) Al cabo de 7 horas ¿cuántas bacterias habrá por unidad de volumen? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?
c) ¿Y al cabo de 50 horas? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?
d) ¿Después de cuántas horas se conseguiría obtener 40 bacterias por unidad de volumen?
Solución:
Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.
Horas (x)
Bacterias (y)
0
12
1
19
2
23
3
34
4
56
5
62
A simple vista podemos afirmar que existe una dependencia estadística o correlación entre las variables X e Y, porque los puntos de la nube se agrupan en torno a una posible recta.
Grado:
Al ser esta recta reconocible se puede afirmar que la correlación es fuerte.
Sentido:
Positivo (cuando X aumenta Y aumenta)
Tipo:
Correlación lineal, ya que la nube de puntos se distribuye alrededor de una recta.
a) Correlación es el grado de dependencia que existe entre dos variables.
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
0
12
0
144
0
1
19
1
361
19
2
23
4
529
46
3
34
9
1156
102
4
56
16
3136
224
5
62
25
3844
310
15
206
55
9170
701
Coeficiente de correlación:r = σxy/σx·σy
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My
Medias:
Mx = Σxi/n My = Σyi/n
Desviaciones típicas:
Como n = 6:
Mx = 15/6 = 2,5
My = 206/6 = 34,3
σxy = (701/6) – 2,5·34,3 = 31,1
r = 31,1/1,7·18,8 = 0,97
Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva muy fuerte, como habíamos predicho a la vista del diagrama de dispersión, ya que r es próxima a 1.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
y = 34,3 + (31,1/1,72)·(x – 2,5)
y = 34,3 + 10,8·(x – 2,5)
y = 34,3 + 10,8 x – 27
y = 10,8 x + 7,3
x = 7 → y = 10,8·7 + 7,3 = 82,9
Para x = 7 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 83 bacterias por unidad de volumen.
La estimación es muy fiable pues el valor de la variable x se encuentra muy cerca del intervalo [0, 5] y el grado de dependencia lineal es muy fuerte.
c)
x = 50 → y = 10,8·50 + 7,3 = 547,3
Para x = 50 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 547 bacterias por unidad de volumen.
A pesar de que el grado de correlación es alto, esta predicción es menos fiable que la anterior porque el valor de la variable y está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [0, 5])
d)
y = 40 → 40 = 10,8 x + 7,3
10,8 x = 40 – 7,3 = 32,7
x = 32,7/10,8 ≈ 3
Para y = 40 bacterias por unidad de volumen es muy probable que el valor correspondiente de x sea próximo a 3 horas.
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Aplicaciones. Estimaciones 10
Posted on abril 1st, 2019 No commentsMidiendo la potencia en CV y el consumo en L/100 km en seis modelos diferentes de coches, hemos obtenido los siguientes resultados:
x: POTENCIA
110
100
120
140
150
90
y: CONSUMO
5,8
5,8
5,9
6,2
6,2
5
a) Halla la recta de regresión de y sobre x
b) Calcula el consumo de un coche cuya potencia sea de 190 CV
c) ¿Es fiable la estimación anterior? Explica por qué
Solución:
a) Recta de regresión de y sobre x:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
90
5
8100
25
450
100
5,8
10000
33,64
580
110
5,8
12100
33,64
638
120
5,9
14400
34,81
708
140
6,2
19600
38,44
868
150
6,2
22500
38,44
930
710
34,9
86700
203,97
4174
Medias (n = 6):
Mx = Σxi/n = 710/6 = 118,33
My = Σyi/n = 34,9/6 = 5,82
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (4174/6) – 118,33·5,82 = 6,99
Desviaciones típicas:
Recta de regresión de y sobre x:
y = 5,82 + (6,99/21,172)·(x – 118,33)
y = 5,82 + 0,016·(x – 118,33)
y = 5,82 + 0,016 x – 1,89
y = 0,016 x + 3,93
Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy = 6,99/21,17·0,35 = 0,94
b)
x = 190 → 0,016·190 + 3,93 ≈ 7
Para un coche cuya potencia sea de 190 CV es muy probable que su consumo sea 7 litros por cada 100 km.
c) La estimación es poco fiable pues el valor de la variable x no se encuentra cerca del intervalo [90, 150], aunque el grado de correlación es alto.
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Aplicaciones. Estimaciones 09
Posted on marzo 28th, 2019 No commentsUn preparado farmacéutico pierde eficacia con el tiempo. Supuesto que al cabo de 2, 3, 4, 5 y 6 meses pierde el 10%, 20%, 40%, 60% y 80%, respectivamente, calcular:
a) La relación entre eficacia y tiempo.
b) Cuándo no producirá ningún efecto el medicamento.
Solución:
a)
x: Tiempo (meses)
2
3
4
5
6
y: Eficacia (%)
90%
80%
60%
40%
20%
Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.
xi
y1
2
90
3
80
4
60
5
40
6
20
A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal negativa.
Calculamos el coeficiente de Pearson y valoramos un posible ajuste mediante una recta de regresión.
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
2
90
4
8100
180
3
80
9
6400
240
4
60
16
3600
240
5
40
25
1600
200
6
20
36
400
120
20
290
90
20100
980
Coeficiente de correlación de Pearson:
r = σxy/σx·σy
Medias (n = 5):
Mx = Σxi/n = 20/5 = 4
My = Σyi/n = 290/5 = 58
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (980/5) – 4·58 = –36
Desviaciones típicas:
r = –36/1,4·25,6 = –1
Podemos comprobar que existe una correlación lineal negativa perfecta, ya que r es igual a –1.
La relación entre eficacia y tiempo es funcional.
b) Recta de regresión del tiempo sobre la eficacia (X sobre Y):
x = Mx + (σxy/σy2)·(y – My)
x = 4 – (36/25,62)·(y – 58)
x = 4 – 0,055 y + 3,19
x = –0,055 y + 7,19
y = 0 → x = 7,19
A partir de los siete meses el medicamento no producirá efecto alguno.
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Aplicaciones. Estimaciones 08
Posted on marzo 25th, 2019 No commentsOcho niños de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 años pesan, respectivamente, 14, 18, 25, 30, 32, 35, 40 y 42 kg. Hallar las ecuaciones de las rectas de regresión de la edad sobre el peso y del peso sobre la edad, así como el coeficiente de correlación. ¿Cuál es la edad estimada de un niño que pesa 28 kg?
Solución:
x: edad
2
3
4
5
6
7
8
9
y: peso
14
18
25
30
32
35
40
42
Rectas de regresión.
Recta de regresión de la edad sobre el peso (X sobre Y):
x = Mx + (σxy/σy2)·(y – My)
Recta de regresión del peso sobre la edad (Y sobre X):
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
2
14
4
196
28
3
18
9
324
54
4
25
16
625
100
5
30
25
900
150
6
32
36
1024
192
7
35
49
1225
245
8
40
64
1600
320
9
42
81
1764
378
44
236
284
7658
1467
Medias (n = 8):
Mx = Σxi/n = 44/8 = 5,5
My = Σyi/n = 236/8 = 29,5
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (1467/8) – 5,5·29,5 = 21,125
Desviaciones típicas:
Recta de regresión de la edad sobre el peso:
x = 5,5 + (21,125/9,332)·(y – 29,5)
x = 5,5 + 0,24·(y – 29,5)
x = 5,5 + 0,24 y – 7,1
x = 0,24 y – 1,6
Recta de regresión del peso sobre la edad:
y = 29,5 + (21,125/2,292)·(x – 5,5)
y = 29,5 + 4·(x – 5,5)
y = 29,5 + 4 x – 22
y = 4 x + 7,5
Coeficiente de correlación lineal: r = σxy/σx·σy, varía entre –1 y + 1.
Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.
Si r > 0 la correlación es directa y si r = 1 la correlación es positiva perfecta.
r = 21,125/2,29·9,33 = 0,989
Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.
Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.
y = 28 → x = 0,24·28 – 1,6 = 5,12
Para un niño que pesa 28 kg es muy probable que su edad sea próxima a 5 años.
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Aplicaciones. Estimaciones 07
Posted on marzo 21st, 2019 No commentsEn una muestra de ocho familias se considera la talla x, en cm, del padre y la talla y, también en cm, del hijo mayor, adulto. Los resultados fueron:
x
165
166
166
167
168
168
169
170
y
164
167
165
168
170
167
170
170
Hallar la ecuación de la recta de regresión de y sobre x y el coeficiente de correlación. ¿Cuál será la altura estimada del hijo cuyo padre mide 175 cm?
Solución:
Recta de regresión de y sobre x:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
165
164
27225
26896
27060
166
167
27556
27889
27722
166
165
27556
27225
27390
167
168
27889
28224
28056
168
170
28224
28900
28560
168
167
28224
27889
28056
169
170
28561
28900
28730
170
170
28900
28900
28900
1339
1341
224135
224823
224474
Medias (n = 8):
Mx = Σxi/n = 1339/8 = 167,375
My = Σyi/n = 1341/8 = 167,625
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (224474/8) – 167,375·167,625 = 3,02
Desviaciones típicas:
Recta de regresión de y sobre x:
y = 167,625 + (3,02/1,62)·(x – 167,375)
y = 167,625 + 1,18·(x – 167,375)
y = 167,625 + 1,18 x – 197,5
y =1,18 x – 29,88
Coeficiente de correlación:
r = 3,02/1,6·2,2 = 0,86
x = 175 → y = 1,18·175 – 29,88 ≈ 177
Para un padre que mide 175 cm es muy probable que la altura de su hijo se aproxime a 177 cm.
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