El Sapo Sabio

Aplicaciones. Estimaciones 11

El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número, viene expresado en la siguiente tabla:

a)  Indica el grado de dependencia lineal. Interprétala

b)  Al cabo de 7 horas ¿cuántas bacterias habrá por unidad de volumen? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?

c)  ¿Y al cabo de 50 horas? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?

d)  ¿Después de cuántas horas se conseguiría obtener 40 bacterias por unidad de volumen?

Solución:

Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

A simple vista podemos afirmar que existe una dependencia estadística o correlación entre las variables X e Y, porque los puntos de la nube se agrupan en torno a una posible recta.

Grado:

Al ser esta recta reconocible se puede afirmar que la correlación es fuerte.

Sentido:

Positivo (cuando X aumenta Y aumenta)

Tipo:

Correlación lineal, ya que la nube de puntos se distribuye alrededor de una recta.

a)  Correlación es el grado de dependencia que existe entre dos variables.

r = σ_xy/σ_x·σ_y

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y

Medias:

M_x = Σx_i/n              M_y = Σy_i/n

Desviaciones típicas: 

Como n = 6:

M_x = 15/6 = 2,5

M_y = 206/6 = 34,3

σ_xy = (701/6) – 2,5·34,3 = 31,1

r = 31,1/1,7·18,8 = 0,97

Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva muy fuerte, como habíamos  predicho a la vista del diagrama de dispersión, ya que r es próxima a 1.

b)  Recta de regresión de Y sobre X:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

y = 34,3 + (31,1/1,7²)·(x – 2,5)

y = 34,3 + 10,8·(x – 2,5)

y = 34,3 + 10,8 x – 27

y = 10,8 x + 7,3

x = 7 → y = 10,8·7 + 7,3 = 82,9

Para x = 7 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 83 bacterias por unidad de volumen.

La estimación es muy fiable pues el valor de la variable x se encuentra muy cerca del intervalo [0, 5] y el grado de dependencia lineal es muy fuerte.

c)   

x = 50 → y = 10,8·50 + 7,3 = 547,3

Para x = 50 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 547 bacterias por unidad de volumen.

A pesar de que el grado de correlación es alto, esta predicción es menos fiable que la anterior porque el valor de la variable y está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [0, 5])

d)     

y = 40 → 40 = 10,8 x + 7,3

10,8 x = 40 – 7,3 = 32,7

x = 32,7/10,8 ≈ 3

Para y = 40 bacterias por unidad de volumen es muy probable que el valor correspondiente de x sea próximo a 3 horas.

Aplicaciones. Estimaciones 10

Midiendo la potencia en CV y el consumo en L/100 km en seis modelos diferentes de coches, hemos obtenido los siguientes resultados:

a)  Halla la recta de regresión de y sobre x

b)  Calcula el consumo de un coche cuya potencia sea de 190 CV

c)  ¿Es fiable la estimación anterior? Explica por qué

Solución:

a)  Recta de regresión de y sobre x:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Medias (n = 6):

M_x = Σx_i/n = 710/6 = 118,33

M_y = Σy_i/n = 34,9/6 = 5,82

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (4174/6) – 118,33·5,82 = 6,99

Desviaciones típicas: 

Recta de regresión de y sobre x:

y = 5,82 + (6,99/21,17²)·(x – 118,33)

y = 5,82 + 0,016·(x – 118,33)

y = 5,82 + 0,016 x – 1,89

y = 0,016 x + 3,93

Coeficiente de correlación:

r = σ_xy/σ_x·σ_y = 6,99/21,17·0,35 = 0,94

b)    

x = 190 → 0,016·190 + 3,93 ≈ 7

Para un coche cuya potencia sea de 190 CV es muy probable que su consumo sea 7 litros por cada 100 km.

c)  La estimación es poco fiable pues el valor de la variable x no se encuentra cerca del intervalo [90, 150], aunque el grado de correlación es alto.

Aplicaciones. Estimaciones 09

Un preparado farmacéutico pierde eficacia con el tiempo. Supuesto que al cabo de 2, 3, 4, 5 y 6 meses pierde el 10%, 20%, 40%, 60% y 80%, respectivamente, calcular:

a)  La relación entre eficacia y tiempo.

b)  Cuándo no producirá ningún efecto el medicamento.

Solución:

a)   

Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal negativa.

Calculamos el coeficiente de Pearson y valoramos un posible ajuste mediante una recta de regresión.

Coeficiente de correlación de Pearson:

r = σ_xy/σ_x·σ_y

  Medias (n = 5):

M_x = Σx_i/n = 20/5 = 4

M_y = Σy_i/n = 290/5 = 58

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (980/5) – 4·58 = –36

Desviaciones típicas: 

r = –36/1,4·25,6 = –1

Podemos comprobar que existe una correlación lineal negativa perfecta, ya que r es igual a –1.

La relación entre eficacia y tiempo es funcional.

b)  Recta de regresión del tiempo sobre la eficacia (X sobre Y):

x = M_x + (σ_xy/σ_y²)·(y – M_y)

x = 4 – (36/25,6²)·(y – 58)

x = 4 – 0,055 y + 3,19

x = –0,055 y + 7,19

y = 0 → x = 7,19

A partir de los siete meses el medicamento no producirá efecto alguno.

Aplicaciones. Estimaciones 08

Ocho niños de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 años pesan, respectivamente, 14, 18, 25, 30, 32, 35, 40 y 42 kg. Hallar las ecuaciones de las rectas de regresión de la edad sobre el peso y del peso sobre la edad, así como el coeficiente de correlación. ¿Cuál es la edad estimada de un niño que pesa 28 kg?

Solución:

Rectas de regresión.

Recta de regresión de la edad sobre el peso (X sobre Y):

x = M_x + (σ_xy/σ_y²)·(y – M_y)

Recta de regresión del peso sobre la edad (Y sobre X):

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Medias (n = 8):

M_x = Σx_i/n = 44/8 = 5,5

M_y = Σy_i/n = 236/8 = 29,5

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (1467/8) – 5,5·29,5 = 21,125

Desviaciones típicas: 

Recta de regresión de la edad sobre el peso:

x = 5,5 + (21,125/9,33²)·(y – 29,5)

x = 5,5 + 0,24·(y – 29,5)

x = 5,5 + 0,24 y – 7,1

x = 0,24 y – 1,6

Recta de regresión del peso sobre la edad: 

y = 29,5 + (21,125/2,29²)·(x – 5,5)

y = 29,5 + 4·(x – 5,5)

y = 29,5 + 4 x – 22

y = 4 x + 7,5

Coeficiente de correlación lineal: r = σ_xy/σ_x·σ_y, varía entre –1 y + 1.

Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.

Si r > 0 la correlación es directa y si r  = 1 la correlación es positiva perfecta.

r = 21,125/2,29·9,33 = 0,989

Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.

Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.

y = 28 → x = 0,24·28 – 1,6 = 5,12

Para un niño que pesa 28 kg es muy probable que su edad sea próxima a 5 años.

Aplicaciones. Estimaciones 07

En una muestra de ocho familias se considera la talla x, en cm, del padre y la talla y, también en cm, del hijo mayor, adulto. Los resultados fueron:

Hallar la ecuación de la recta de regresión de y sobre x y el coeficiente de correlación. ¿Cuál será la altura estimada del hijo cuyo padre mide 175 cm?

Solución:

Recta de regresión de y sobre x:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Coeficiente de correlación:

r = σ_xy/σ_x·σ_y

Medias (n = 8):      

M_x = Σx_i/n = 1339/8 = 167,375

M_y = Σy_i/n = 1341/8 = 167,625

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (224474/8) – 167,375·167,625 = 3,02

Desviaciones típicas: 

Recta de regresión de y sobre x: 

y = 167,625 + (3,02/1,6²)·(x – 167,375)

y = 167,625 + 1,18·(x – 167,375)

y = 167,625 + 1,18 x – 197,5

y =1,18 x – 29,88

Coeficiente de correlación:

r = 3,02/1,6·2,2 = 0,86

x = 175 → y = 1,18·175 – 29,88 ≈ 177

Para un padre que mide 175 cm es muy probable que la altura de su hijo se aproxime a 177 cm.