El Sapo Sabio

 

Se deja caer una pelota de 250 g desde una ventana situada a una altura de 15 m. Al mismo tiempo se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba otra pelota de 400 g, con una velocidad de 24 m/s. Calcula, por energías, la distancia a que se encuentra cada pelota de la ventana cuando ambas pelotas alcanzan la velocidad de 10 m/s.

 

 

Solución:

Datos de la primera pelota: v_1,0 = 0; m₁ = 250 g; h₁ = 15 m; v₁ = 10 m/s

Principio de conservación de la energía:

∑W_peso = ∆Ec + ∆Ep

Durante la bajada la piedra únicamente está sometida a su peso, cuyo trabajo ya está incluido en la variación de la energía potencial, luego: ∑W_peso = 0.

Cambios de energía:

Energía cinética inicial:

Ec_1,0 = (1/2) m v_1,0²

Energía cinética final:

Ec₁ = (1/2) m v₁²

Variación de la energía cinética:

ΔEc = Ec₁ – Ec_1,0 = (1/2) m v₁² – (1/2) m v_1,0²

Energía potencial inicial:

Ep_0,1 = m g h_1,0

Energía potencial final:

Ep₁ = m g h₁

Variación de la energía potencial:

ΔEp = Ep₁ – Ep_0,1 = m g h₁ – m g h_1,0

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación tenemos que:

0 = (1/2) m v₁² – (1/2) m v_1,0² + m g h₁ – m g h_1,0

Dividiendo por m:

0 = (1/2) v₁² – (1/2) v_1,0² + g h₁ – g h_1,0

g h₁ = (1/2) v_1,0² – (1/2) v₁² + g h_1,0

h₁ = [(v_1,0² – v₁²)/2 g] + h_1,0

h₁ = {[0 – (10 m/s)²]/2·(9,8 m/s²)} + 15 m = 9,9 m

Distancia de la primera pelota a la ventana.

d₁ = 15 m – 9,9 m = 5,1 m, por debajo de la ventana.

Datos de la segunda pelota: v_2,0 = 24 m; m₂ = 400 g; h_2,0 = 0 m; v₂ = 10 m/s

Principio de conservación de la energía:

∑W_peso = ∆Ec + ∆Ep

Durante la subida la piedra únicamente está sometida a su peso, cuyo trabajo ya está incluido en la variación de la energía potencial, luego: ∑W_peso = 0.

Cambios de energía.

Energía cinética inicial:

Ec_2,0 = (1/2) m v_2,0²

Energía cinética final:

Ec₂ = (1/2) m v₂²

Variación de la energía cinética:

ΔEc = Ec₂ – Ec_2,0 = (1/2) m v₂² – (1/2) m v_2,0²

Energía potencial inicial:

Ep_2,0 = m g h_2,0

Energía potencial final:

Ep₂ = m g h₂

Variación de la energía potencial:

ΔEp = Ep₂ – Ep_2,0 = m g h₂ – m g h_2,0

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación tenemos que:

0 = (1/2) m v₂² – (1/2) m v_2,0² + m g h₂ – m g h_2,0

Dividiendo por m:

0 = (1/2) v₂² – (1/2) v_2,0² + g h₂ – g h_2,0

g h₂ = (1/2) v_2,0² – (1/2) v₂² + g h_2,0

h₂ = [(v_2,0² – v₂²)/2 g] + h_2,0

h₂ = {[(24 m/s)² – (10 m/s)²]/2·(9,8 m/s²)} + 0 = 24,3 m

Distancia de la segunda pelota a la ventana.

d₂ = 24,3 m – 15 m = 9,3 m, por encima de la ventana.