Teorema de conservación de la energía. Plano vertical 06
Se deja caer una pelota de 250 g desde una ventana situada a una altura de 15 m. Al mismo tiempo se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba otra pelota de 400 g, con una velocidad de 24 m/s. Calcula, por energías, la distancia a que se encuentra cada pelota de la ventana cuando ambas pelotas alcanzan la velocidad de 10 m/s.
Solución:
Datos de la primera pelota: v1,0 = 0; m1 = 250 g; h1 = 15 m; v1 = 10 m/s
Principio de conservación de la energía:
∑Wpeso = ∆Ec + ∆Ep
Durante la bajada la piedra únicamente está sometida a su peso, cuyo trabajo ya está incluido en la variación de la energía potencial, luego: ∑Wpeso = 0.
Cambios de energía:
Energía cinética inicial:
Ec1,0 = (1/2) m v1,02
Energía cinética final:
Ec1 = (1/2) m v12
Variación de la energía cinética:
ΔEc = Ec1 – Ec1,0 = (1/2) m v12 – (1/2) m v1,02
Energía potencial inicial:
Ep0,1 = m g h1,0
Energía potencial final:
Ep1 = m g h1
Variación de la energía potencial:
ΔEp = Ep1 – Ep0,1 = m g h1 – m g h1,0
Sustituyendo en la expresión del principio de conservación tenemos que:
0 = (1/2) m v12 – (1/2) m v1,02 + m g h1 – m g h1,0
Dividiendo por m:
0 = (1/2) v12 – (1/2) v1,02 + g h1 – g h1,0
g h1 = (1/2) v1,02 – (1/2) v12 + g h1,0
h1 = [(v1,02 – v12)/2 g] + h1,0
h1 = {[0 – (10 m/s)2]/2·(9,8 m/s2)} + 15 m = 9,9 m
Distancia de la primera pelota a la ventana.
d1 = 15 m – 9,9 m = 5,1 m, por debajo de la ventana.
Datos de la segunda pelota: v2,0 = 24 m; m2 = 400 g; h2,0 = 0 m; v2 = 10 m/s
Principio de conservación de la energía:
∑Wpeso = ∆Ec + ∆Ep
Durante la subida la piedra únicamente está sometida a su peso, cuyo trabajo ya está incluido en la variación de la energía potencial, luego: ∑Wpeso = 0.
Cambios de energía.
Energía cinética inicial:
Ec2,0 = (1/2) m v2,02
Energía cinética final:
Ec2 = (1/2) m v22
Variación de la energía cinética:
ΔEc = Ec2 – Ec2,0 = (1/2) m v22 – (1/2) m v2,02
Energía potencial inicial:
Ep2,0 = m g h2,0
Energía potencial final:
Ep2 = m g h2
Variación de la energía potencial:
ΔEp = Ep2 – Ep2,0 = m g h2 – m g h2,0
Sustituyendo en la expresión del principio de conservación tenemos que:
0 = (1/2) m v22 – (1/2) m v2,02 + m g h2 – m g h2,0
Dividiendo por m:
0 = (1/2) v22 – (1/2) v2,02 + g h2 – g h2,0
g h2 = (1/2) v2,02 – (1/2) v22 + g h2,0
h2 = [(v2,02 – v22)/2 g] + h2,0
h2 = {[(24 m/s)2 – (10 m/s)2]/2·(9,8 m/s2)} + 0 = 24,3 m
Distancia de la segunda pelota a la ventana.
d2 = 24,3 m – 15 m = 9,3 m, por encima de la ventana.