Halla las energía E1 y E2 de los niveles de energía más bajos del hidrógeno y calcula la longitud de onda de la radiación emitida al pasar un electrón de la órbita n = 2 a n = 1.
Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m = 9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C
Solución:
Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m = 9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C
Un electrón que se mueve en una órbita tendrá una energía cinética Ec = (1/2) mv2, y una energía potencial que vendrá dada por Ep = –Kq2/r si tomamos como cero la energía potencial a una distancia, r, infinita, del núcleo. El signo negativo indica que hay que efectuar un trabajo para alejar el electrón del núcleo.
E = Ec + Ep
Ahora bien, según el modelo de Borh el electrón en su giro orbital se encuentra sometido a dos fuerzas, una la fuerza centrífuga y la otra de naturaleza electrostática de Coulomb.
Para que el sistema se encuentre en equilibrio, se debe cumplir que:
Fc = Fe
siendo:
Fc = m (v2 /r) Fe = K (qe · qp / r2)
Sustituyendo en la ecuación inicial y teniendo en cuenta que las cargas del protón y del electrón, en valor absoluto, son iguales, se obtiene que:
mv2/r = Kq2/r2 → mv2 = Kq2/r
Luego:
Ec = Kq2/2r
Por tanto:
E = (Kq2/2r) – (Kq2/r) = –Kq2/2r
Ahora bien, el radio de una órbita de un átomo de hidrógeno según el modelo atómico de Bohr es:
r = n2h2/4π2mKq2
Sustituyendo en la expresión de la energía obtenemos que:
E = –Kq2/[2(n2h2/4π2mKq2)]
E = –4π2mK2q4/2n2h2
E = –2π2mK2q4/n2h2
(n = número cuántico principal)
Utilizando los valores de q, m y h ya conocidos, tenemos que:
E1 = –2·π2·9,1·10–31 kg·(9·109 Nm2/C2)2·(1,6·10–19 C)4/[12·(6,63·10–34 Js)2]
E1 = –2,17·10–18 J
E2 = –2·π2·9,1·10–31 kg·(9·109 Nm2/C2)2·(1,6·10–19 C)4/[22·(6,63·10–34 Js)2]
E2 = –5,42·10–19 J
Como: λ = c/f y f = (E2 – E1)/h, tenemos que:
λ = c/[(E2 – E1)/h] = ch/(E2 – E1)
λ = [(3·108 m/s)· 6,63·10–34 Js]/[–5,42·10–19 J – (–2,17·10–18 J)]
λ = 1,2·10–7 m
También se pude hacer aplicando la fórmula de Balmer:
1/λ = R [(1/n12) – (1/n22)] n2 > n1
1/λ = 1,096778·107 m–1·[(1/12) – (1/22)] (serie de Lyman)
λ = 1,2·10–7 m
