Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld 10

 

Calcula la energía de ionización del átomo de hidrógeno.

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

 

 

Solución:

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

Se trata de hallar la mínima energía necesaria para arrancar un electrón de un átomo de hidrógeno.

Energía del electrón al cambiar de órbita según Bohr:

MODELO ATOM BOHR 10

E = 2,17·10–18 J/átomo

La energía de ionización es la energía por mol de átomos, luego:

E = 2,17·10–18 (J/átomo)·(6,023·1023 átomos/mol) = 1307 kJ/mol

 

 


Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld 09

 

Halla las energía E1 y E2 de los niveles de energía más bajos del hidrógeno y calcula la longitud de onda de la radiación emitida al pasar un electrón de la órbita n = 2 a n = 1.

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

 

 

Solución:

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

Un electrón que se mueve en una órbita tendrá una energía cinética Ec = (1/2) mv2, y una energía potencial que vendrá dada por Ep = –Kq2/r si tomamos como cero la energía potencial a una distancia, r, infinita, del núcleo. El signo negativo indica que hay que efectuar un trabajo para alejar el electrón del núcleo.

E = Ec + Ep

Ahora bien, según el modelo de Borh el electrón en su giro orbital se encuentra sometido a dos fuerzas, una la fuerza centrífuga y la otra de naturaleza electrostática de Coulomb.

 

MODELO ATOM BOHR 07, 1

Para que el sistema se encuentre en equilibrio, se debe cumplir que:

Fc = Fe

siendo:

Fc = m (v2 /r)                   Fe = K (qe · qp / r2)

Sustituyendo en la ecuación inicial y teniendo en cuenta que las cargas del protón y del electrón, en valor absoluto, son iguales, se obtiene que:

mv2/r = Kq2/r2 → mv2 = Kq2/r

Luego:

Ec = Kq2/2r

Por tanto:

E = (Kq2/2r) – (Kq2/r) = –Kq2/2r

Ahora bien, el radio de una órbita de un átomo de hidrógeno según el modelo atómico de Bohr es:

r = n2h2/4π2mKq2

Sustituyendo en la expresión de la energía obtenemos que:

E = –Kq2/[2(n2h2/4π2mKq2)]

E = –4π2mK2q4/2n2h2

E = –2π2mK2q4/n2h2

(n = número cuántico principal)

Utilizando los valores de q, m y h ya conocidos, tenemos que:

E1 = –2·π2·9,1·10–31 kg·(9·109 Nm2/C2)2·(1,6·10–19 C)4/[12·(6,63·10–34 Js)2]

E1 = –2,17·10–18 J

E2 = –2·π2·9,1·10–31 kg·(9·109 Nm2/C2)2·(1,6·10–19 C)4/[22·(6,63·10–34 Js)2]

E2 = –5,42·10–19 J

Como: λ = c/f y f = (E2 – E1)/h, tenemos que:

λ = c/[(E2 – E1)/h] = ch/(E2 – E1)

λ = [(3·108 m/s)· 6,63·10–34 Js]/[–5,42·10–19 J – (–2,17·10–18 J)]

λ = 1,2·10–7 m

También se pude hacer aplicando la fórmula de Balmer:

1/λ = R [(1/n12) – (1/n22)]            n2 > n1

1/λ = 1,096778·107 m–1·[(1/12) – (1/22)] (serie de Lyman)

λ = 1,2·10–7 m

 

 


Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld 08

 

¿Qué diferencia hay entre órbita y orbital?

 

 

Solución:

Según Bohr, órbita son las trayectorias circulares por las que un electrón podía moverse alrededor del núcleo.

Según la mecánica ondulatoria, orbital es cierto volumen del espacio, dentro del cual existe una determinada probabilidad de encontrar al electrón.

 

 

Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld 07

 

Según el modelo de Bohr–Sommerfeld, ¿qué velocidad le corresponde al electrón del átomo de hidrógeno en su estado fundamental?

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

 

 

Solución:

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

Según el modelo de Bohr el electrón en su giro orbital se encuentra sometido a dos fuerzas, una la fuerza centrífuga y la otra de naturaleza electrostática de Coulomb.

MODELO ATOM BOHR 07, 1

Para que el sistema se encuentre en equilibrio, se debe cumplir que:

Fc = Fe

siendo:

Fc = m (v2 /r)                   Fe = K (qe·qp/r2)

Sustituyendo en la ecuación inicial y teniendo en cuenta que las cargas del protón y del electrón, en valor absoluto, son iguales, se obtiene que:

m v2/r = K q2/r2 → v2 = K q2/m r

Radio de una órbita de un átomo de hidrógeno según el modelo atómico de Borh:

r = n2 h2/4 π2 m K q2

Sustituyendo en la expresión de la velocidad:

v2 = K q2/(m n2 h2/4 π2 m K q2)

v2 = 4 π2 K2 q4/n2 h2 

v = 2 π K q2/n h

MODELO ATOM BOHR 07, 2

 

 


Modelo atómico de Bohr – Sommerfeld 06

 

Suponiendo que se pudiera excitar un átomo de hidrógeno de tal forma que la órbita recorrida por el electrón tuviera un diámetro de 10–5 m, ¿cuál sería el valor de n para dicho estado?  

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

 

 

Solución:

Datos: D = 10–5 m; h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

Radio de una órbita según el modelo atómico de Bohr:

MODELO ATOM BOHR 06, 1

Dimensionalmente:

MODELO ATOM BOHR 06, 2

Evidentemente n es adimensional.