Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld 09

 

Halla las energía E1 y E2 de los niveles de energía más bajos del hidrógeno y calcula la longitud de onda de la radiación emitida al pasar un electrón de la órbita n = 2 a n = 1.

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

 

 

Solución:

Datos: h = 6,63·10–34 J · s; m =  9,1·10–31 kg; q = 1,6·10–19 C

Un electrón que se mueve en una órbita tendrá una energía cinética Ec = (1/2) mv2, y una energía potencial que vendrá dada por Ep = –Kq2/r si tomamos como cero la energía potencial a una distancia, r, infinita, del núcleo. El signo negativo indica que hay que efectuar un trabajo para alejar el electrón del núcleo.

E = Ec + Ep

Ahora bien, según el modelo de Borh el electrón en su giro orbital se encuentra sometido a dos fuerzas, una la fuerza centrífuga y la otra de naturaleza electrostática de Coulomb.

 

MODELO ATOM BOHR 07, 1

Para que el sistema se encuentre en equilibrio, se debe cumplir que:

Fc = Fe

siendo:

Fc = m (v2 /r)                   Fe = K (qe · qp / r2)

Sustituyendo en la ecuación inicial y teniendo en cuenta que las cargas del protón y del electrón, en valor absoluto, son iguales, se obtiene que:

mv2/r = Kq2/r2 → mv2 = Kq2/r

Luego:

Ec = Kq2/2r

Por tanto:

E = (Kq2/2r) – (Kq2/r) = –Kq2/2r

Ahora bien, el radio de una órbita de un átomo de hidrógeno según el modelo atómico de Bohr es:

r = n2h2/4π2mKq2

Sustituyendo en la expresión de la energía obtenemos que:

E = –Kq2/[2(n2h2/4π2mKq2)]

E = –4π2mK2q4/2n2h2

E = –2π2mK2q4/n2h2

(n = número cuántico principal)

Utilizando los valores de q, m y h ya conocidos, tenemos que:

E1 = –2·π2·9,1·10–31 kg·(9·109 Nm2/C2)2·(1,6·10–19 C)4/[12·(6,63·10–34 Js)2]

E1 = –2,17·10–18 J

E2 = –2·π2·9,1·10–31 kg·(9·109 Nm2/C2)2·(1,6·10–19 C)4/[22·(6,63·10–34 Js)2]

E2 = –5,42·10–19 J

Como: λ = c/f y f = (E2 – E1)/h, tenemos que:

λ = c/[(E2 – E1)/h] = ch/(E2 – E1)

λ = [(3·108 m/s)· 6,63·10–34 Js]/[–5,42·10–19 J – (–2,17·10–18 J)]

λ = 1,2·10–7 m

También se pude hacer aplicando la fórmula de Balmer:

1/λ = R [(1/n12) – (1/n22)]            n2 > n1

1/λ = 1,096778·107 m–1·[(1/12) – (1/22)] (serie de Lyman)

λ = 1,2·10–7 m

 

 


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