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Averiguar la frecuencia de cualquier nota según el sistema temperado es sumamente fácil. Únicamente hemos de utilizar como referencia la frecuencia de La3 (440Hz), y multiplicar tantas veces por 1,05946 como número de semitonos haya de distancia entre la frecuencia de la nota pedida y el La de referencia.

Por ejemplo, para calcular la frecuencia de Do3, partiremos de La2. Multiplicando por 2 o dividiendo por 2, nos desplazamos una 8ª arriba o abajo, respectivamente. La2 está un 8ª baja, por tanto, dividimos por 2 la frecuencia de referencia (220Hz). De La2 a Do3 hay 3 semitonos, por consiguiente hemos de multiplicar 3 veces 220Hz por 1,05946 o, lo que es lo mismo, multiplicar por (1,05946)3. La frecuencia obtenida es 261,6Hz.
 
 

Como vimos cuando tratamos los distintos sistemas de afinación natural, éstos se fundamentan en cálculos matemáticos derivados de las proporciones naturales deducidas del fenómeno físico-armónico. Estos sistemas tienen en común un hecho: la afinación de un conjunto de notas (por ejemplo, los grados de una escala) depende del sonido base sobre el que realicemos los cálculos. El uso de frecuencias de referencia que varíen según  nuestras necesidades es la causa de que obtengamos afinaciones relativas, lo que resulta un inconveniente, por ejemplo, para la modulación a tonos lejanos.La frecuencia, por ejemplo, de Mi3 no es la misma cuando la calculamos a partir de la serie armónica de Do1 que cuando lo hacemos de La1 o de otro sonido fundamental.
 

Con la invención del temperamento igual (de 12 sonidos)  –nacido  de la contribución de teóricos como Bartolomé Ramos Pareja (1440-1522), Francisco de Salinas (1513-1590), entre otros- se solventa este inconveniente. Este sistema se basa en la división de la 8ª justa en 12 semitonos iguales, por lo que el único intervalo natural es precisamente la 8ª justa; el resto presenta desviaciones en su afinación que son admitidas por nuestro oído. El valor matemático del semitono es:


 

Recuérdese que el valor de la 8ª justa es 2.
 

El valor que posee la 8ª justa es 2, como se explicó en el artículo sobre la serie armónica, y, por consiguiente, el valor de la coma Holder se obtiene según el cálculo siguiente.

 

 

Hagamos unos ejercicios de cálculo de frecuencias con este sistema.
 
  1. De La a Si hay un tono, por tanto 9 comas. La ecuación que aplicaremos es:Frecuencia pedida= frecuencia dada x (1,0131)y ; y=diferencia interválica en número de comas. Frecuencia de Si: 440 x (1,0131634)9= 494,96hz 
  2. De La a Mi# hay 36 comas. Este dato se obtiene calculando la 5ª que hay de La a Mi (31 comas) y sumándole un semitono cromático (5 comas).Frecuencia de Mi#: 220 x (1,0131634)36 = 352,28hz
  3. El último caso es el más complejo. Hemos de restar dos semitonos cromáticos (10 comas) para llegar de Mi a Mibb.Frecuencia de Mibb: 440 x (1,0131634)21 = 579,06hz
 
 

 

William Holder (1616-1698) ideó un sistema de afinación a partir del sistema pitagórico con el fin de que una octava justa estuviera formada por un número entero de unidades. Esta unidad es la coma Holder, cuyo valor está entre la pitagórica y la sintónica. Su valor es 1/53 (una 8ª justa tiene 53 comas Holder).

Según esto, la 8ª justa está formada por tonos de 9 comas Holder, semitonos cromáticos de 5 y semitonos diatónicos de 4. La diferencia en número de comas entre el semitono cromático y el diatónico implica que dos sonidos enarmónicos estén separados por una coma.
 
 
El gráfico nos muestra un ejemplo de intervalos enarmónicos. Según los cálculos efectuados, la nota Rex es más aguda que la nota Mi.
 
 
 

 

Resolvamos un problema de frecuencias utilizando el sistema pitagórico. Calculemos la frecuencia de las notas enharmónicas Mib3 y Re# 3. Ambas  notas tienen la misma frecuencia según el sistema temperado. Sin embargo, según el sistema pitagórico, sus frecuencias son distintas.

Se puede averiguar cualquier frecuencia a partir de la afinación de cualquier nota La. La frecuencia  de referencia es La 3 de 440 Hz. Multiplicando o dividiendo esta frecuencia por 2, obtenemos las notas La superiores o inferiores, respectivamente.  Para solucionar el problema planteado, tenemos que crear una cadena de quintas partiendo de un La hasta llegar a la nota cuya frecuencia hemos de averiguar. En caso de  llegar a la nota pedida, pero en  una octava distinta (como en la resolución propuesta abajo, donde la cadena de quintas nos lleva a Mib 2, en lugar de Mib 3), podemos averiguar su frecuencia multiplicando o dividiendo por 2, según sea conveniente.

Primero, calculemos la frecuencia de Mib 3. Para ello, creo a partir de La 5 una cadena de 6 quintas descendentes que me llevarán a Mib 2. El cociente de esta cadena se obtiene multiplicando (2/3) consigo mismo 6 veces (una vez por cada quinta). Luego se multiplica por 2, ya que deseamos saber la frecuencia de Mib 3.

Segundo, realizamos las mismas operaciones para calcular Re# 3, pero esta vez partiendo de una cadena de quintas ascendentes cuya primera nota es La -1.

De estos cálculos, se obtienen dos frecuencias distintas, 309 Hz para Mib 3 y  313 Hz para Re# 3. Por tanto, Re # 3 es más agudo que Mib 3.

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