Archivo de la categoría ‘Fenómeno físico-armónico’

Resolvamos un problema de frecuencias utilizando el sistema pitagórico. Calculemos la frecuencia de las notas enharmónicas Mib3 y Re# 3. Ambas  notas tienen la misma frecuencia según el sistema temperado. Sin embargo, según el sistema pitagórico, sus frecuencias son distintas.

Se puede averiguar cualquier frecuencia a partir de la afinación de cualquier nota La. La frecuencia  de referencia es La 3 de 440 Hz. Multiplicando o dividiendo esta frecuencia por 2, obtenemos las notas La superiores o inferiores, respectivamente.  Para solucionar el problema planteado, tenemos que crear una cadena de quintas partiendo de un La hasta llegar a la nota cuya frecuencia hemos de averiguar. En caso de  llegar a la nota pedida, pero en  una octava distinta (como en la resolución propuesta abajo, donde la cadena de quintas nos lleva a Mib 2, en lugar de Mib 3), podemos averiguar su frecuencia multiplicando o dividiendo por 2, según sea conveniente.

Primero, calculemos la frecuencia de Mib 3. Para ello, creo a partir de La 5 una cadena de 6 quintas descendentes que me llevarán a Mib 2. El cociente de esta cadena se obtiene multiplicando (2/3) consigo mismo 6 veces (una vez por cada quinta). Luego se multiplica por 2, ya que deseamos saber la frecuencia de Mib 3.

Segundo, realizamos las mismas operaciones para calcular Re# 3, pero esta vez partiendo de una cadena de quintas ascendentes cuya primera nota es La -1.

De estos cálculos, se obtienen dos frecuencias distintas, 309 Hz para Mib 3 y  313 Hz para Re# 3. Por tanto, Re # 3 es más agudo que Mib 3.

Pitágoras (s. VI a. C.) enunció la ley relativa a las cuerdas al experimentar con el monocordio (instrumento de una sola cuerda). De su experimentación con la quinta natural, expresado matemáticamente por el cociente 3/2 (véase el artículo sobre la serie armónica), dedujo la afinación de todas las notas. Según el sistema pitagórico, se obtienen todos los sonidos mediante un encadenamiento de quintas naturales, como se describe en el siguiente gráfico.

Del cálculo de intervalos se obtiene un único tipo de segunda mayor (9/8) y otro de segunda menor (256/243). El cociente del semitono cromático es 2187/2048. Recuérdese que el cociente de un intervalo puede obtenerse multiplicando o dividiendo los cocientes de otros dos intervalos, dependiendo de si el intervalo incógnita puede formularse como suma de otros dos o como resta uno de otro, respectivamente.
 
Si calculamos los cocientes de dos intervalos enarmónicos, por ejemplo Do- Sol# y Do-Lab, obtendremos dos resultados distintos: 6561/4096 y 128/81, respectivamente. La diferencia existente entre los dos intervalos se llama coma pitagórica (531441/524288). Resulta curioso saber que Sol# es más agudo que Lab.
 
En un tono caben 8,69 comas.
 
Este sistema es propio de instrumentos de cuerda. 

Cuando comparamos los quebrados de dos intervalos enharmónicos nos percatamos de que no son iguales. La diferencia existente entre ellos se llama coma (hay otras dos comas mayores en dimensión; entre ellas la sintónica (81/80), que es la diferencia que hay entre los dos tipos de tonos). Aunque este intervalo no posee notación, se puede percibir musicalmente. Abajo está descrito el procedimiento para averiguar el quebrado que lo define (128/125). Para saber el número de comas que cabe en un tono de 9/8 hay que resolver la siguiente ecuación: (128/125)x =  9/8. La x es el número de comas que caben en él.  El resultado de esta ecuación es 4,966 comas.

El gráfico nos descubre la existencia de dos tipos de semitonos. En realidad, existe un tercer semitono que se obtiene  realizando cálculos a partir del tono grande (9/8) y del semitono diatónico (16/15). Su quebrado es 135/128. La existencia de dos tipos de tonos y de tres tipos de semitonos hace imposible la aplicación de este sistema de afinación en instrumentos de afinación fija, como el piano, especialmente cuando ha de afrontar una modulación, ya que la distancia entre dos notas determinadas cambia dependiendo de la tonalidad en la que estamos (por ejemplo: Do-Re, I-II  (9/8) en Do mayor, pero II-III  (10/9) en Sib mayor).

El sistema de afinación de Zarlino, también llamado de Aristógenes-Zarlino, se basa en el cálculo de las frecuencias de las notas de una escala diatónica determinada a partir de la serie armónica en la que se encuentran sus notas. Como ya se mencionó en el artículo sobre la serie armónica, todos los intervalos vienen definidos por un quebrado obtenido al poner en relación en forma de cociente los números de orden de las notas formantes de cada intervalo.

Los intervalos de las escalas mayores tienen las siguientes correspondencias numéricas:

Intervalo Quebrado

2ª M

3ª M

4ª J

5ª J

6ª M

7ª M

8ª J

9/8

5/4

4/3

3/2

5/3

15/8

2/1

Estos quebrados pueden obtenerse de forma inmediata buscando cada intervalo dentro de la serie armónica, como, por ejemplo, la quinta justa que aparece entre el tercer y segundo armónicos (3/2). Según la serie armónica, existen dos tipos de segundas mayores: la que se forma entre los armónicos 9 y 8 (9/8), y la que se forma entre los armónicos 10 y 9 (10/9). Por tanto, la escala diatónica mayor, como se ve en el gráfico de abajo, está formada por dos tipos de segundas mayores y una menor. Igualmente, en el gráfico se muestra la manera en la que se deducen los quebrados de los intervalos que se forman entre el V y el VI, y entre el VI y el VII grados.

 

La serie armónica, también conocida como fenómeno físico-armónico, es el conjunto formado por un sonido llamado fundamental (o primer armónico) más una sucesión de sonidos concomitantes, denominados armónicos, cuyas frecuencias mantienen una relación de números enteros con la frecuencia del fundamental. De este modo, la frecuencia del segundo armónico es el doble del primer armónico, el tercero el triple del primero, y así sucesivamente. El número en el orden de la serie determina una frecuencia exacta. La mayor parte de las afinaciones de los armónicos se desvía de las establecidas por nuestro sistema temperado. Ciertas desviaciones son notorias, por lo que recurrimos a su representación en negrilla para indicar tales casos.


La serie armónica no sólo comprende los 16 armónicos que hay en el gráfico, sino que se extiende hasta los límites de nuestra percepción sonora. Igualmente, conforme nos alejamos del primer armónico, los intervalos se vuelven progresivamente más pequeños,  lo que da lugar a intervalos microtonales.

El número de orden del Do3 en la serie armónica anterior es 4, y el del Do2 es 2. Como 4 es el doble de 2, la frecuencia del Do3 es el doble que la del Do2. Según este razonamiento es posible averiguar la frecuencia de cada armónico a partir de la frecuencia de cualquiera de ellos. Por ejemplo:

Si la frecuencia de La3 es 440 Hz, obténganse las frecuencias de La4, Mi4, Re4, Re#4, Fa3 y Mib4.

Para averiguar la afinación de cada una de ellas, utilizaremos la serie armónica de La. Asimismo, nos será de gran ayuda formar intervalos a partir de La3 con las notas cuyas frecuencias hemos de averiguar.

Están marcados, junto con la serie armónica, los intervalos que vamos a necesitar para obtener las frecuencias pedidas. En el caso a, el intervalo formado entre La3 y Laes una octava justa. La octava justa está representada por el quebrado 2/1 . El quebrado que define un intervalo ascendente se forma poniendo en el numerador el número de orden del armónico más agudo y en el denominador, el del más grave.

Aplicamos a 440 este quebrado para obtener la frecuencia de La4.

440 x 2/1 = 880

La frecuencia de La4 es 880 Hz.

La solución al resto de casos es:

b) 5ªJ = 3/2; 440 x 3/2 = 660 Hz

c) 4ª J = 4/3; 440 x 4/3 = 586,7 Hz

d) El intervalo de 4ª aumentada puede dividirse en uno de 3ª M (5/4) y otro de 2ª M (9/8). Su quebrado sale de multiplicar los quebrados de estos dos: (5×9)/(4×8) = 45/32; 440 x 45/32 = 618,75 Hz.

e) 3ª M = 5/4; al ser el intervalo descendente, invertimos el quebrado;440 x 4/5 = 352 Hz.

f) 5ª dism, igual que en el caso d); 3ªm (6/5) + 3ª m = 36/25; 440 x 36/25 = 633,6 Hz, de lo que se deduce que, según los cálculos efectuados en base al fenómeno físico-armónico, re# no es lo mismo que mib.

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