El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Aplicaciones. Estimaciones 01

    Posted on febrero 28th, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    En la tabla adjunta da los alargamientos de una barra metálica por efecto de cambios en la temperatura. Calcular la recta de regresión y  efectuar las estimaciones y(55), x(4), y explica su significado.

    Temperatura (ºC)

    Alargamiento (mm)

    0

    0

    8

    1

    16

    2

    25

    3

    40

    5

    50

    6

    60

    7

    75

    9

     

     

     

    Solución:

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    0

    0

    0

    0

    0

    8

    1

    64

    1

    8

    16

    2

    256

    4

    32

    25

    3

    625

    9

    75

    40

    5

    1600

    25

    200

    50

    6

    2500

    36

    300

    60

    7

    3600

    49

    420

    75

    9

    5625

    81

    675

    274

    33

    14270

    205

    1710

     

    Temperatura = xi              Alargamiento = yi              n = 8

    Recta de regresión:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    Medias:

    Mx = Σxi/n = 274/8 = 34,25

    My = Σyi/n = 33/8 = 4,125

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (1710/8) – 34,25·4,125 = 72,47

    Desviaciones típicas:

    Recta de regresión:

    y = 4,125 + (72,47/610,69)·(x – 34,25)

    y = 4,125 + 0,118 x – 4,06

    y = 0,118 x + 0,065

    Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy = 72,47/24,7·3 = 0,978

    Estimaciones:

    x = 55 → y = 0,118·55 + 0,065 ≈ 6,6 mm

    y = 4 → 4 = 0,118 x + 0,065 → x = (4 – 0,065)/0,118 ≈ 33,3

    Las estimaciones son buenas porque la correlación es muy grande. Además, x0 = 55 ºC está entre los valores manejados (entre 0ºC y 75ºC) y lo mismo le ocurre a y0 = 4 mm.

    No sería buena la estimación para, por ejemplo, x0 = 100ºC, y mucho menos para x0 = 200ºC.

     

     

  • Rectas de regresión 08

    Posted on febrero 25th, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    Si no hay correlación entre n valores de dos variables x e y (r = 0), demuestra que las dos rectas de regresión son perpendiculares.

     

     

    Solución:

    Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + m·(x – Mx)

    Recta de regresión de X sobre Y:

    x = Mx + m’·(y – My)

    El coeficiente de correlación, r = σxyx·σy, se puede poner en función de las pendientes de regresión:

    m = σxyx2             m’ = σxyy2

    m·m’ = (σxyx2)·(σxyy2) = [(σxy)2]/σx2·σy2 = (σxyx·σy)2 = r2

    Como, en este caso, r = 0, puede suceder que m = 0, o bien, m’ = 0.

    En el primer caso:

    y = My + 0·(x – Mx) → y = My

    x = Mx + m’·(My – My) = Mx + m’·(0) → x = Mx

    Ambas rectas son perpendiculares.

    En el segundo caso:

    x = Mx + 0·(y – My) → x = Mx

    y = My + m·(0) → y = My

    Y las dos rectas también son perpendiculares.

    Nota: Mx y My son las medias de X y de Y, respectivamente.

     

     

  • Rectas de regresión 07

    Posted on febrero 21st, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    Considera la serie estadística bidimensional:

    (xi, yj) = {(1, 4), (2, 5), (4, 3), (2, 0), (5, 4)}

    Calcular:

    a)  Las rectas de regresión.

    b)  El coeficiente de correlación.

    Interpreta el resultado.

     

     

    Solución:

    a)  Rectas de regresión.

    Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    Recta de regresión de X sobre Y:

    x = Mx + (σxyy2)·(y – My)

    xi

    yj

    xi2

    yj2

    xi·yj

    1

    4

    1

    16

    4

    2

    5

    4

    25

    10

    4

    3

    16

    9

    12

    2

    0

    4

    0

    0

    5

    4

    25

    16

    20

    14

    16

    50

    66

    46

     

    Medias:

    n = 5;          Mx = Σxi/n = 14/5 = 2,8;    My = Σyj/n = 16/5 = 3,2

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yj/n) – Mx·My = (46/5) – 2,8·3,2 = 0,24

    Varianzas:

    σx2 = (Σxi2/n) – Mx2 = (50/5) – 2,82 = 2,16

    σy2 = (Σyj2/n) – My = (66/5) – 3,22 = 2,96

    y = 3,2 + (0,24/2,16)·(x – 2,8)

    y = 3,2 + 0,11 x – 0,31 = 0,11 x + 2,89

    100 y = 11 x + 289

    11 x – 100 y – 289 = 0

    x – 9 y + 26 = 0

    En el último paso se ha redondeado.

    x = 2,8 + (0,24/2,96)·(y – 3,2)

    x = 2,8 + 0,081 y – 0,26 = 0,081 y + 2,54

    37 x = 3 y + 94 → 37 x – 3 y – 94 = 0

    En el último paso se ha multiplicado todos los términos por 37 y se ha redondeado.

    a)  Coeficiente de correlación.

    r = σxyx·σy

    Desviaciones típicas: 

    r = 0,24/1,47·1,72 = 0,095 < 0,5

    Dependencia estadística, pero la correlación no es significativa.

     

     

     

  • Rectas de regresión 06

    Posted on febrero 18th, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    De una variable bidimensional (x, y) si se han  obtenido 6 pares de datos con los siguientes resultados:

    Σx = 21, Σy = 171, Σx2 = 91, Σy2 = 5803, Σx·y =723

    Hallar el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.

     

     

    Solución:

    Medias:

    n = 6;          Mx = Σxi/n = 21/6 = 3,5;    My = Σyi/n = 171/6 = 28,5

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (723/6) – 3,5·28,5 = 20,75

    Desviaciones típicas:

    Coeficiente de correlación:

    r = σxy/σx· σy = 20,75/1,71·12,45 = 0,97

    Se trata de una correlación muy fuerte (muy cercana a 1).

    Recta de regresión de Y sobre X.

    Coeficiente de regresión:

    myx = σxy/σx2 = 20,75/1,712 = 7,1

      Centro de gravedad:

    (Mx, My) = (3,5; 28,5)

    Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:

    y = 28,5 + 7,1·(x – 3,5) = 28,5 + 7,1 x – 24,85

    y = 7,1 x + 3,65

     

     

     

  • Rectas de regresión 05

    Posted on febrero 14th, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    Las rectas de regresión de una distribución bidimensional son las siguientes:

    r: 0,83x – y = –0,97          s: x – 0,58 y = –0,28

    Demuestra que r es la recta de regresión de Y sobre X, y s, la recta de regresión de X sobre Y.

     

     

    Solución:

    Supongamos que es al contrario, o sea, que s es la recta de regresión de Y sobre X, y r, la recta de regresión de X sobre Y y expresemos ambas rectas en forma explicita:

    r: x = (1/0,83) y – (0,97/0,83)     s: y = (1/0,58) x + (0,28/0,58)

     de donde se pueden obtener las respectivas pendientes, mxy = 1/0,83; myx = 1/0,58.

    Ahora bien: 

    r2 =  myx·mxy

    Como r no puede ser mayor que uno, la hipótesis es falsa y por tanto r es la recta de regresión de Y sobre X, y s, la recta de regresión de X sobre Y como se quería demostrar.