El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas
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Aplicaciones. Estimaciones 01
Posted on febrero 28th, 2019 No commentsEn la tabla adjunta da los alargamientos de una barra metálica por efecto de cambios en la temperatura. Calcular la recta de regresión y efectuar las estimaciones y(55), x(4), y explica su significado.
Temperatura (ºC)
Alargamiento (mm)
0
0
8
1
16
2
25
3
40
5
50
6
60
7
75
9
Solución:
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
0
0
0
0
0
8
1
64
1
8
16
2
256
4
32
25
3
625
9
75
40
5
1600
25
200
50
6
2500
36
300
60
7
3600
49
420
75
9
5625
81
675
274
33
14270
205
1710
Temperatura = xi Alargamiento = yi n = 8
Recta de regresión:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
Medias:
Mx = Σxi/n = 274/8 = 34,25
My = Σyi/n = 33/8 = 4,125
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (1710/8) – 34,25·4,125 = 72,47
Desviaciones típicas:
Recta de regresión:
y = 4,125 + (72,47/610,69)·(x – 34,25)
y = 4,125 + 0,118 x – 4,06
y = 0,118 x + 0,065
Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy = 72,47/24,7·3 = 0,978
Estimaciones:
x = 55 → y = 0,118·55 + 0,065 ≈ 6,6 mm
y = 4 → 4 = 0,118 x + 0,065 → x = (4 – 0,065)/0,118 ≈ 33,3
Las estimaciones son buenas porque la correlación es muy grande. Además, x0 = 55 ºC está entre los valores manejados (entre 0ºC y 75ºC) y lo mismo le ocurre a y0 = 4 mm.
No sería buena la estimación para, por ejemplo, x0 = 100ºC, y mucho menos para x0 = 200ºC.
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Rectas de regresión 08
Posted on febrero 25th, 2019 No commentsSi no hay correlación entre n valores de dos variables x e y (r = 0), demuestra que las dos rectas de regresión son perpendiculares.
Solución:
Recta de regresión de Y sobre X:
y = My + m·(x – Mx)
Recta de regresión de X sobre Y:
x = Mx + m’·(y – My)
El coeficiente de correlación, r = σxy/σx·σy, se puede poner en función de las pendientes de regresión:
m = σxy/σx2 m’ = σxy/σy2
m·m’ = (σxy/σx2)·(σxy/σy2) = [(σxy)2]/σx2·σy2 = (σxy/σx·σy)2 = r2
Como, en este caso, r = 0, puede suceder que m = 0, o bien, m’ = 0.
En el primer caso:
y = My + 0·(x – Mx) → y = My
x = Mx + m’·(My – My) = Mx + m’·(0) → x = Mx
Ambas rectas son perpendiculares.
En el segundo caso:
x = Mx + 0·(y – My) → x = Mx
y = My + m·(0) → y = My
Y las dos rectas también son perpendiculares.
Nota: Mx y My son las medias de X y de Y, respectivamente.
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Rectas de regresión 07
Posted on febrero 21st, 2019 No commentsConsidera la serie estadística bidimensional:
(xi, yj) = {(1, 4), (2, 5), (4, 3), (2, 0), (5, 4)}
Calcular:
a) Las rectas de regresión.
b) El coeficiente de correlación.
Interpreta el resultado.
Solución:
a) Rectas de regresión.
Recta de regresión de Y sobre X:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
Recta de regresión de X sobre Y:
x = Mx + (σxy/σy2)·(y – My)
xi
yj
xi2
yj2
xi·yj
1
4
1
16
4
2
5
4
25
10
4
3
16
9
12
2
0
4
0
0
5
4
25
16
20
14
16
50
66
46
Medias:
n = 5; Mx = Σxi/n = 14/5 = 2,8; My = Σyj/n = 16/5 = 3,2
Covarianza:
σxy = (Σxi·yj/n) – Mx·My = (46/5) – 2,8·3,2 = 0,24
Varianzas:
σx2 = (Σxi2/n) – Mx2 = (50/5) – 2,82 = 2,16
σy2 = (Σyj2/n) – My = (66/5) – 3,22 = 2,96
y = 3,2 + (0,24/2,16)·(x – 2,8)
y = 3,2 + 0,11 x – 0,31 = 0,11 x + 2,89
100 y = 11 x + 289
11 x – 100 y – 289 = 0
x – 9 y + 26 = 0
En el último paso se ha redondeado.
x = 2,8 + (0,24/2,96)·(y – 3,2)
x = 2,8 + 0,081 y – 0,26 = 0,081 y + 2,54
37 x = 3 y + 94 → 37 x – 3 y – 94 = 0
En el último paso se ha multiplicado todos los términos por 37 y se ha redondeado.
a) Coeficiente de correlación.
r = σxy/σx·σy
Desviaciones típicas:
r = 0,24/1,47·1,72 = 0,095 < 0,5
Dependencia estadística, pero la correlación no es significativa.
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Rectas de regresión 06
Posted on febrero 18th, 2019 No commentsDe una variable bidimensional (x, y) si se han obtenido 6 pares de datos con los siguientes resultados:
Σx = 21, Σy = 171, Σx2 = 91, Σy2 = 5803, Σx·y =723
Hallar el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.
Solución:
Medias:
n = 6; Mx = Σxi/n = 21/6 = 3,5; My = Σyi/n = 171/6 = 28,5
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (723/6) – 3,5·28,5 = 20,75
Desviaciones típicas:
Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx· σy = 20,75/1,71·12,45 = 0,97
Se trata de una correlación muy fuerte (muy cercana a 1).
Recta de regresión de Y sobre X.
Coeficiente de regresión:
myx = σxy/σx2 = 20,75/1,712 = 7,1
Centro de gravedad:
(Mx, My) = (3,5; 28,5)
Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:
y = 28,5 + 7,1·(x – 3,5) = 28,5 + 7,1 x – 24,85
y = 7,1 x + 3,65
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Rectas de regresión 05
Posted on febrero 14th, 2019 No commentsLas rectas de regresión de una distribución bidimensional son las siguientes:
r: 0,83x – y = –0,97 s: x – 0,58 y = –0,28
Demuestra que r es la recta de regresión de Y sobre X, y s, la recta de regresión de X sobre Y.
Solución:
Supongamos que es al contrario, o sea, que s es la recta de regresión de Y sobre X, y r, la recta de regresión de X sobre Y y expresemos ambas rectas en forma explicita:
r: x = (1/0,83) y – (0,97/0,83) s: y = (1/0,58) x + (0,28/0,58)
de donde se pueden obtener las respectivas pendientes, mxy = 1/0,83; myx = 1/0,58.
Ahora bien:
r2 = myx·mxy
Como r no puede ser mayor que uno, la hipótesis es falsa y por tanto r es la recta de regresión de Y sobre X, y s, la recta de regresión de X sobre Y como se quería demostrar.
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