El Sapo Sabio

Aplicaciones. Estimaciones 01

En la tabla adjunta da los alargamientos de una barra metálica por efecto de cambios en la temperatura. Calcular la recta de regresión y  efectuar las estimaciones y(55), x(4), y explica su significado.

Solución:

Temperatura = x_i              Alargamiento = y_i              n = 8

Recta de regresión:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Medias:

M_x = Σx_i/n = 274/8 = 34,25

M_y = Σy_i/n = 33/8 = 4,125

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (1710/8) – 34,25·4,125 = 72,47

Desviaciones típicas:

Recta de regresión:

y = 4,125 + (72,47/610,69)·(x – 34,25)

y = 4,125 + 0,118 x – 4,06

y = 0,118 x + 0,065

Coeficiente de correlación:

r = σ_xy/σ_x·σ_y = 72,47/24,7·3 = 0,978

Estimaciones:

x = 55 → y = 0,118·55 + 0,065 ≈ 6,6 mm

y = 4 → 4 = 0,118 x + 0,065 → x = (4 – 0,065)/0,118 ≈ 33,3

Las estimaciones son buenas porque la correlación es muy grande. Además, x₀ = 55 ºC está entre los valores manejados (entre 0ºC y 75ºC) y lo mismo le ocurre a y₀ = 4 mm.

No sería buena la estimación para, por ejemplo, x₀ = 100ºC, y mucho menos para x₀ = 200ºC.

Rectas de regresión 08

Si no hay correlación entre n valores de dos variables x e y (r = 0), demuestra que las dos rectas de regresión son perpendiculares.

Solución:

Recta de regresión de Y sobre X:

y = M_y + m·(x – M_x)

Recta de regresión de X sobre Y:

x = M_x + m’·(y – M_y)

El coeficiente de correlación, r = σ_xy/σ_x·σ_y, se puede poner en función de las pendientes de regresión:

m = σ_xy/σ_x²             m’ = σ_xy/σ_y²

m·m’ = (σ_xy/σ_x²)·(σ_xy/σ_y²) = [(σ_xy)²]/σ_x²·σ_y² = (σ_xy/σ_x·σ_y)² = r²

Como, en este caso, r = 0, puede suceder que m = 0, o bien, m’ = 0.

En el primer caso:

y = M_y + 0·(x – M_x) → y = M_y

x = M_x + m’·(M_y – M_y) = M_x + m’·(0) → x = M_x

Ambas rectas son perpendiculares.

En el segundo caso:

x = M_x + 0·(y – M_y) → x = M_x

y = M_y + m·(0) → y = M_y

Y las dos rectas también son perpendiculares.

Nota: M_x y M_y son las medias de X y de Y, respectivamente.

Rectas de regresión 07

Considera la serie estadística bidimensional:

(x_i, y_j) = {(1, 4), (2, 5), (4, 3), (2, 0), (5, 4)}

Calcular:

a)  Las rectas de regresión.

b)  El coeficiente de correlación.

Interpreta el resultado.

Solución:

a)  Rectas de regresión.

Recta de regresión de Y sobre X:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Recta de regresión de X sobre Y:

x = M_x + (σ_xy/σ_y²)·(y – M_y)

Medias:

n = 5;          M_x = Σx_i/n = 14/5 = 2,8;    M_y = Σy_j/n = 16/5 = 3,2

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_j/n) – M_x·M_y = (46/5) – 2,8·3,2 = 0,24

Varianzas:

σ_x² = (Σx_i²/n) – M_x² = (50/5) – 2,8² = 2,16

σ_y² = (Σy_j²/n) – M_y = (66/5) – 3,2² = 2,96

y = 3,2 + (0,24/2,16)·(x – 2,8)

y = 3,2 + 0,11 x – 0,31 = 0,11 x + 2,89

100 y = 11 x + 289

11 x – 100 y – 289 = 0

x – 9 y + 26 = 0

En el último paso se ha redondeado.

x = 2,8 + (0,24/2,96)·(y – 3,2)

x = 2,8 + 0,081 y – 0,26 = 0,081 y + 2,54

37 x = 3 y + 94 → 37 x – 3 y – 94 = 0

En el último paso se ha multiplicado todos los términos por 37 y se ha redondeado.

a)  Coeficiente de correlación.

r = σ_xy/σ_x·σ_y

Desviaciones típicas: 

r = 0,24/1,47·1,72 = 0,095 < 0,5

Dependencia estadística, pero la correlación no es significativa.

Rectas de regresión 06

De una variable bidimensional (x, y) si se han  obtenido 6 pares de datos con los siguientes resultados:

Σx = 21, Σy = 171, Σx² = 91, Σy² = 5803, Σx·y =723

Hallar el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.

Solución:

Medias:

n = 6;          M_x = Σx_i/n = 21/6 = 3,5;    M_y = Σy_i/n = 171/6 = 28,5

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (723/6) – 3,5·28,5 = 20,75

Desviaciones típicas:

Coeficiente de correlación:

r = σ_xy/σ_x· σ_y = 20,75/1,71·12,45 = 0,97

Se trata de una correlación muy fuerte (muy cercana a 1).

Recta de regresión de Y sobre X.

Coeficiente de regresión:

m_yx = σ_xy/σ_x² = 20,75/1,71² = 7,1

  Centro de gravedad:

(M_x, M_y) = (3,5; 28,5)

Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:

y = 28,5 + 7,1·(x – 3,5) = 28,5 + 7,1 x – 24,85

y = 7,1 x + 3,65

Rectas de regresión 05

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional son las siguientes:

r: 0,83x – y = –0,97          s: x – 0,58 y = –0,28

Demuestra que r es la recta de regresión de Y sobre X, y s, la recta de regresión de X sobre Y.

Solución:

Supongamos que es al contrario, o sea, que s es la recta de regresión de Y sobre X, y r, la recta de regresión de X sobre Y y expresemos ambas rectas en forma explicita:

r: x = (1/0,83) y – (0,97/0,83)     s: y = (1/0,58) x + (0,28/0,58)

 de donde se pueden obtener las respectivas pendientes, m_xy = 1/0,83; m_yx = 1/0,58.

Ahora bien: 

r² =  m_yx·m_xy

Como r no puede ser mayor que uno, la hipótesis es falsa y por tanto r es la recta de regresión de Y sobre X, y s, la recta de regresión de X sobre Y como se quería demostrar.