El Sapo Sabio

Medidas de centralización de una variable discreta 02

Halla la media de la siguiente distribución: {5, 10, 13, 27, 38}.

Solución:

Cuando los valores de la variable estadística discreta no están repetidos, se trata del caso más sencillo, la expresión de la media aritmética es la siguiente:

M = Σx_i/n

siendo n el número de datos.

         Por tanto:

M = (5 + 10 + 13 + 27 + 40)/5 = 19

Medidas de centralización de una variable discreta 01

Nos dan la siguiente distribución de notas: 2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 10.

a)  Haz la tabla de frecuencias.

b)  Calcula la media, la moda y la mediana.

c)  Representa el diagrama de barras para la distribución de frecuencias absolutas.

Solución:

a)  Tabla de frecuencias:  

Siendo: f_i la frecuencia absoluta, F_i la frecuencia absoluta acumulada y h_i la frecuencia relativa.

b)  Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Con el fin de facilitar su cálculo realizaremos la siguiente tabla:

M = 54/9 = 6

Moda (mayor f_i):

M_o = 4

Mediana (M_e):

Nº de datos que preceden a M_e = Nº de datos que siguen a M_e

M_e = 5

c)    

La binomial como aproximación de la normal 04

Una moneda corriente se lanza 30 veces. Halla la probabilidad de obtener entre 17 y 22 caras usando:

a)  La distribución binomial

b)  aproximación de la normal a la binomial

Solución:

a)  Se trata de una distribución binomial B (30; 0,5), con n = 30, p = 0,5, q = 1 – p = 0,5

b)  Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, entonces:

n·p = 30·0,5 = 15

n·q = 30·0,5 = 15

Como se cumplen las condiciones exigidas, B(30; 0,5) ≈ N(15; 2,74)

 De acuerdo con la corrección de Yates, tendremos:

 Tipificando la variable X' se puede utilizar la tabla de la N(0, 1).

La binomial como aproximación de la normal 03

En una estación de aforos se ha observado que el 62% de los vehículos son automóviles turismo y el resto camiones (no se consideran los vehículos de dos ruedas). Se estudia el paso de 2000 vehículos y sea X la variable aleatoria que representa el número de turismos que pasan por la estación. Se pide:

a)  Obtén la función de probabilidad de X

b)  P [1200 ≤ X ≤ 1300]

c)  P [X ≤ 1250]

Solución:

a)  Se trata de una distribución binomial B(2000; 0,62), con n = 2000, p = 0,62 y q = 1 – p = 0,38.

Por tanto la función de probabilidad es:

b)  Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, entonces:

n·p = 2000·0,62 = 1240

n·q = 2000·0,38 =760

Como se cumplen las condiciones exigidas, B(2000; 0,62) ≈ N(1240; 2,17), teniéndose que tipificar los valores de la distribución normal.

Para hallar la probabilidad primero hay que hacer la corrección de Yates, en este caso:

c)  Para X ≤ 1250, primero hay que hacer la oportuna corrección, en este caso:

La binomial como aproximación de la normal 02

El promedio de aciertos en el tiro a canasta de un jugador de baloncesto es del 73 por 100. Si lanza 200 veces, ¿cuál es la probabilidad de que enceste más de 160 lanzamientos?

Solución:

Se trata de una distribución binomial B(200; 0,73), pues consiste en repetir 200 veces la misma prueba, manteniéndose constante la probabilidad de éxito en 0,73 (encestar 73 veces de 100 tiros).

donde:

n = 200; p = 0,73; q = 1 – p = 1 – 0,73 = 0,27

Tenemos que calcular:

P[X > 160] = P[X = 161] + P[X = 162]+….+ P[X = 200]

Estos cálculos son prácticamente imposibles si no es con ordenador, pero si se puede resolver con la binomial como aproximación de la normal.

De la distribución binomial B(200; 0,73) tenemos que:

μ = n p = 200·0,73 = 146

n q = 200·0,27 = 54

Como np y nq son ambos mayores que 5, la aproximación es casi perfecta.

X es B(200; 0,73) → X’ es N(146; 6,28) → Z es N(0, 1)

Para hallar la probabilidad primero hay que hacer la oportuna corrección, en este caso: