El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Esperanza matemática 01

    Posted on noviembre 6th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Un juego consiste en extraer una bola de una urna que contiene ocho bolas rojas y dos bolas verdes. Ganamos 50 euros si la bola extraída es roja, y pagamos 225 euros si es verde. Obtén la función de probabilidad f de la variable aleatoria X que indica la ganancia correspondiente a cada resultado y determina si el juego es equitativo.

     

     

    Solución:

    Datos: bolas rojas (R) = 8; bolas verdes (V) = 2

    Probabilidad de obtener bola roja:

    P(R) = 8/10 = 0,8

    Probabilidad de obtener bola verde:

    P(V) = 2/10 = 0,2

    Función de probabilidad:

    xi

    –225

    +50

    f(xi)

    0,2

    0,8

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    Si μ = 0 el juego es equitativo.

    Si μ < 0 el juego perjudica al jugador.

    Si μ > 0 el juego favorece al jugador.

    μ = –225·0,2 + 50·0,8 = –5

    Como μ < 0 el juego no es equitativo y perjudica al jugador. Se puede esperar una perdida media de 5 euros por partida.

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 09

    Posted on noviembre 2nd, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Se lanzan tres monedas y se cuentan el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades y calcula la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    X1(+, +, +) = 0

    X2(+, +, c) = 1; X3(+, c, +) = 1; X4(c, +, +) = 1

    X5 (+, c, c) = 2;  X6 (c, +, c) = 2;  X7 (c, c, +) = 2

    X8 (c, c, c) = 1

    P(X = 0) = 1/8; P(X = 1) = 3/8; P(X = 2) = 3/8; P(X = 3) = 1/8

    Tabla de probabilidades:

    xi

    0

    1

    2

    3

    pi

    1/8

    3/8

    3/8

    1/8

    Media:

    μ = Σxi·pi

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·pi – μ2

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    xi

    pi

    xi·pi

    xi2

    xi2·pi

    0

    1/8

    0

    0

    0

    1

    3/8

    3/8

    1

    3/8

    2

    3/8

    6/8

    4

    12/8

    3

    1/8

    3/8

    9

    9/8

     

    1

    12/8

     

    24/8

             Según la tabla anterior:

    μ = 12/8 = 1,5

    PARAMETROS 09

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 08

    Posted on octubre 30th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Se extraen dos naipes de una baraja de 40 cartas y se anotan el número de reyes obtenidos (0, 1 ó 2).

    a)  ¿Cuál es la distribución de probabilidades?

    b)  Calcula la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    a)    

    P(0) = P(R’∩R’) = (36/40)·(35/39) = 1260/1560

    P(1) = P(R∩R’) + P(R’∩R)  = 2·(4/40)·(36/39) = 288/1560

    P(2) = P(R∩R) = (4/40)·(3/39) = 12/1560

    Distribución de probabilidades:

    xi

    0

    1

    2

    pi

    1260/1560

    288/1560

    12/1560

    b)  Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·pi

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·pi – μ2

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    xi

    pi

    xi·pi

    xi2

    xi2·pi

    0

    1260/1560

    0

    0

    0

    1

    288/1560

    288/1560

    1

    288/1560

    2

    12/1560

    24/1560

    4

    48/1560

     

    1

    312/1560

     

    336/1560

    Según la tabla anterior:

    μ = 312/1560 = 0,2

    PARAMETROS 08

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 07

    Posted on octubre 26th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sea la variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

    X

    –25

    –10

    0

    5

    f(x)

    m

    2m

    3m

    4m

    a)  Deduce el valor de m.

    b)  Halla la función de distribución F.

    c)  Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de X.

     

     

    Solución:

    a)     

    xi

    f(xi)

    –25

    m

    –10

    2m

    0

    3m

    5

    4m

     

    1

    Según la tabla anterior:

    m + 2m + 3m + 4m = 1

    10m = 1 → m = 1/10 = 0,1

    x

    –25

    –10

    0

    5

    f(x)

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    b)  Función de distribución:

    Si x<–25:

    F(x) = 0

    Si –25≤x<–10:

    F(x) = F(–25) = 0 + 0,1 = 0,1 = P[X≤–25]

    Si –10≤x<0:

    F(x) = F(–10) = 0,1 + 0,2 = 0,3 = P[X≤–10]

    Si 0≤x<5:

    F(x) = F(0) = 0,3 + 0,3 = 0,6 = P[X≤0]

    Si x≥5:

    F(x) = F(5) = 0,6 + 0,4 = 1 = P[X≤5]

    PARAMETROS 07, 1

    c)  Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·f(xi) – μ2 = Σ(xi – μ)2·f(xi)

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    xi

    f(xi)

    xi·f(xi)

    xi2

    xi2·f(xi)

    –25

    0,1

    –2,5

    625

    62,5

    –10

    0,2

    –2

    100

    20

    0

    0,3

    0

    0

    0

    5

    0,4

    2

    25

    10

     

    1

    –2,5

     

    92,5

    Según la tabla anterior:

    μ = –2,5

    σ2 = 92,5 – (–2,5)2 = 86,25

    PARAMETROS 07, 2

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 06

    Posted on octubre 19th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Halla la media y la desviación típica de la variable aleatoria “diferencia entre la mayor y la menor puntuación obtenida” correspondiente al experimento de lanzar dos dados.

     

     

    Solución:

    Resultados posibles:

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    Según la tabla los valores de xi son: 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

    Tabla de probabilidades:

    xi

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    pi

    6/36

    10/36

    8/36

    6/36

    4/36

    2/36

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·pi

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·pi – μ2

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    xi

    pi

    pi·xi

    xi2

    pi·xi2

    0

    6/36

    0

    0

    0

    1

    10/36

    10/36

    1

    10/36

    2

    8/36

    16/36

    4

    32/36

    3

    6/36

    18/36

    9

    54/36

    4

    4/36

    16/36

    16

    64/36

    5

    2/36

    10/36

    25

    50/36

     

     

    70/36

     

    210/36

    Según los datos de la tabla:

    μ = 70/36 = 1,94

    σ2 = (210/36) – (70/36)2 = 2,05

    PARAMETROS 06