El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas de regresión 02

    Posted on febrero 4th, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    Representa estos puntos y, sin efectuar cálculos, contesta las siguientes preguntas:

    x

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y

    10

    8

    6

    4

    2

    0

     

    a)  ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación?

    b)  ¿Cómo son las dos rectas de regresión? Escribe su ecuación.

    c)  A la vista de la respuesta anterior, da el valor de myx y el de mxy.

     

     

    Solución:

    A la vista de la gráfica de la nube de puntos podemos contestar a las preguntas.

    a)  Coeficiente de correlación (r):

    r = –1

    b)  Las rectas de regresión son coincidentes.

    Ecuación de la recta:

    y = m x + n

    Pendiente de la recta (m):

    m = (10 – 0)/(1 – 6) = 10/(–5) = –2

    Coordenadas de un punto de la recta:

    P(6, 0)

    Sustituyendo en la expresión de la ecuación de la recta, tenemos que:

    0 = –2·6 + n → n = 12

    y = –2 x + 12

    c)  Despejando x de la anterior expresión:

    2 x = –y + 12 → x = (–1/2) y + 6

    Luego:

    myx = –2       mxy = –1/2

     

     

  • Rectas de regresión 01

    Posted on enero 31st, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    La siguiente tabla nos muestra los gastos de publicidad de un producto (X) en miles de euros y las ventas conseguidas (Y) en miles de euros.

    x

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y

    10

    17

    30

    28

    39

    47

     

    Calcula:

    a)  Centro de gravedad.

    b)  Covarianza.

    c)  Desviación típica de cada variable.

    d)  Correlación.

    e)  Recta de regresión de Y sobre X.

     

     

    Solución:

    Cuando nos piden todos los cálculos lo mejor es completar la siguiente tabla:

    x

    y

    x2

    y2

    x·y

    1

    10

    1

    100

    10

    2

    17

    4

    289

    34

    3

    30

    9

    900

    90

    4

    28

    16

    784

    112

    5

    39

    25

    1521

    195

    6

    47

    36

    2209

    282

    21

    171

    91

    5803

    723

     

    a)  Centro de gravedad de una distribución bidimensional (xc, yc), siendo: xc = Σxi/n,           yc = Σyi/n, n = número de datos = 6.

    xc = 21/6 = 3,5                 yc = 1716 = 28,5

    c. d. g. = (3,5; 28,5)

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – xc·yc

    σxy = (723/6) – 3,5·28,5 = 20,75

    b)  Desviación típica de cada variable:

    Desviación típica de x:

    Desviación típica de y:

    c)  Correlación:

    Coeficiente de correlación de dos variable:

    r = σxyx·σy = 20,75/1,71·12,45 = 0,97

    Como la correlación es próxima a 1 la correlación es muy fuerte.

    d)  Recta de regresión de Y sobre X:

    y = yc + (σxyx2)·(x – xc)

    y = 28,5 + (20,75/1,712)·(x – 3,5)

     y = 28,5 + 7,1·(x – 3,5)

    y = 7,1 x + 3,65

     

     

  • Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 05

    Posted on enero 28th, 2019 ManuelMiralles No comments

     ¿Qué significa que en una distribución bidimensional el coeficiente de correlación, r, sea:

    a)    r = 1;   b)  r = -1;   c)  r = 0,75;   d)  r = 0;   e)  r = 0,1;   f)  r = 0,9?

     

     

    Solución:

    Se ha de tener en cuenta que:

    Si r = –1 la dependencia es funcional.

    Si –1 < r < 0 la dependencia es aleatoria y es más fuerte a medida que r se aproxima a –1  y más débil si se aproxima a 0.

    Si r = 0 las variable X e Y son aleatoriamente independientes.

    Si 0 < r < 1 la dependencia es aleatoria y es más fuerte a medida que r se aproxima a 1 y más débil si se aproxima a 0.

    Si r = 1 la dependencia es funcional.

    Por todo lo anterior tenemos que:

    a)  Dependencia funcional positiva.

    b)  Dependencia funcional negativa.

    c)  Dependencia aleatoria positiva fuerte.

    d)  Independencia aleatoria.

    e)  Dependencia aleatoria positiva muy débil. (Prácticamente independencia aleatoria)

    f)   Dependencia aleatoria positiva y muy fuerte.

     

     

     

  • Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 04

    Posted on enero 24th, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87. Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficiente de correlación de esta nueva distribución?

     

     

    Solución:

    Si todos los datos se multiplican por una constante, la desviación típica que multiplicada  por el mismo número. Por tanto:

    luego el coeficiente de correlación no varía, por tanto: r = 0,87

     

     

     

  • Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 03

    Posted on enero 21st, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    Dada la serie bidimensional:

    X

    1

    1

    2

    3

    3

    3

    4

    4

    4

    5

    Y

    0

    2

    2

    0

    1

    3

    0

    2

    3

    4

     

    Se pide:

    a)  Tabular los datos.

    b)  Medias, varianzas y covarianza.

    c)  Coeficiente de correlación.

     

     

    Solución:

    a)  Tabulación de datos:

    b)  Distribución marginal de X:

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    1

    2

    2

    2

    2

    1

    2

    4

    3

    3

    9

    27

    4

    3

    12

    48

    5

    1

    5

    25

     

    10

    30

    106

     

    Media de X (Mx):

    Mx = (Σxi·fi/Σfi) = 30/10 = 3

    Varianza de X (σx2):

    σx2 = (Σxi2·fi/Σfi) – Mx2 = (106/10) – 32 = 1,6

    Distribución marginal de Y:

    yi

    0

    1

    2

    3

    4

     

    fi

    3

    1

    3

    2

    1

    10

    yi·fi

    0

    1

    6

    6

    4

    17

    yi2·fi

    0

    1

    12

    18

    16

    47

     

    Media de Y (My):

    My = (Σyi·fi/Σfi) = 17/10 = 1,7

    Varianza de Y (σy2):

    σy2 = (Σyi2·fi/Σfi) – My2 = (47/10) – 1,72 = 1,81

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi·fi/Σfi) – Mx·My

    Según la tabla inicial los productos xi, yi y sus frecuencias dan como resultado:

    (xi, yi)

    fi

    xi·yi·fi

    (1, 0)

    1

    (1)·(0)·1 = 0

    (1, 2)

    1

    2

    (2, 2)

    1

    4

    (3, 0)

    1

    0

    (3, 1)

    1

    3

    (3, 3)

    1

    9

    (4, 0)

    1

    0

    (4, 2)

    1

    8

    (4, 3)

    1

    12

    (5, 4)

    1

    20

     

    10

    58

     

    Luego:

    Σxi·yi·fi = 58

    σxy = (58/10) – 3·1,7 = 0,7

    c)  Coeficiente de correlación: 

    r = σxyx·σy

    r = 0,7/1,2649·1,3454 = 0,4113