El Sapo Sabio

Rectas de regresión 02

Representa estos puntos y, sin efectuar cálculos, contesta las siguientes preguntas:

a)  ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación?

b)  ¿Cómo son las dos rectas de regresión? Escribe su ecuación.

c)  A la vista de la respuesta anterior, da el valor de m_yx y el de m_xy.

Solución:

A la vista de la gráfica de la nube de puntos podemos contestar a las preguntas.

a)  Coeficiente de correlación (r):

r = –1

b)  Las rectas de regresión son coincidentes.

Ecuación de la recta:

y = m x + n

Pendiente de la recta (m):

m = (10 – 0)/(1 – 6) = 10/(–5) = –2

Coordenadas de un punto de la recta:

P(6, 0)

Sustituyendo en la expresión de la ecuación de la recta, tenemos que:

0 = –2·6 + n → n = 12

y = –2 x + 12

c)  Despejando x de la anterior expresión:

2 x = –y + 12 → x = (–1/2) y + 6

Luego:

m_yx = –2       m_xy = –1/2

Rectas de regresión 01

La siguiente tabla nos muestra los gastos de publicidad de un producto (X) en miles de euros y las ventas conseguidas (Y) en miles de euros.

Calcula:

a)  Centro de gravedad.

b)  Covarianza.

c)  Desviación típica de cada variable.

d)  Correlación.

e)  Recta de regresión de Y sobre X.

Solución:

Cuando nos piden todos los cálculos lo mejor es completar la siguiente tabla:

a)  Centro de gravedad de una distribución bidimensional (x_c, y_c), siendo: x_c = Σx_i/n,           y_c = Σy_i/n, n = número de datos = 6.

x_c = 21/6 = 3,5                 y_c = 1716 = 28,5

c. d. g. = (3,5; 28,5)

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – x_c·y_c

σ_xy = (723/6) – 3,5·28,5 = 20,75

b)  Desviación típica de cada variable:

Desviación típica de x:

Desviación típica de y:

c)  Correlación:

Coeficiente de correlación de dos variable:

r = σ_xy/σ_x·σ_y = 20,75/1,71·12,45 = 0,97

Como la correlación es próxima a 1 la correlación es muy fuerte.

d)  Recta de regresión de Y sobre X:

y = y_c + (σ_xy/σ_x²)·(x – x_c)

y = 28,5 + (20,75/1,71²)·(x – 3,5)

 y = 28,5 + 7,1·(x – 3,5)

y = 7,1 x + 3,65

Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 05

 ¿Qué significa que en una distribución bidimensional el coeficiente de correlación, r, sea:

a)    r = 1;   b)  r = -1;   c)  r = 0,75;   d)  r = 0;   e)  r = 0,1;   f)  r = 0,9?

Solución:

Se ha de tener en cuenta que:

Si r = –1 la dependencia es funcional.

Si –1 < r < 0 la dependencia es aleatoria y es más fuerte a medida que r se aproxima a –1  y más débil si se aproxima a 0.

Si r = 0 las variable X e Y son aleatoriamente independientes.

Si 0 < r < 1 la dependencia es aleatoria y es más fuerte a medida que r se aproxima a 1 y más débil si se aproxima a 0.

Si r = 1 la dependencia es funcional.

Por todo lo anterior tenemos que:

a)  Dependencia funcional positiva.

b)  Dependencia funcional negativa.

c)  Dependencia aleatoria positiva fuerte.

d)  Independencia aleatoria.

e)  Dependencia aleatoria positiva muy débil. (Prácticamente independencia aleatoria)

f)   Dependencia aleatoria positiva y muy fuerte.

Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 04

El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87. Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficiente de correlación de esta nueva distribución?

Solución:

Si todos los datos se multiplican por una constante, la desviación típica que multiplicada  por el mismo número. Por tanto:

luego el coeficiente de correlación no varía, por tanto: r = 0,87

Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 03

Dada la serie bidimensional:

Se pide:

a)  Tabular los datos.

b)  Medias, varianzas y covarianza.

c)  Coeficiente de correlación.

Solución:

a)  Tabulación de datos:

Media de X (M_x):

M_x = (Σx_i·f_i/Σf_i) = 30/10 = 3

Varianza de X (σ_x²):

σ_x² = (Σx_i²·f_i/Σf_i) – M_x² = (106/10) – 3² = 1,6

Distribución marginal de Y:

Media de Y (M_y):

M_y = (Σy_i·f_i/Σf_i) = 17/10 = 1,7

Varianza de Y (σ_y²):

σ_y² = (Σy_i²·f_i/Σf_i) – M_y² = (47/10) – 1,7² = 1,81

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i·f_i/Σf_i) – M_x·M_y

Según la tabla inicial los productos x_i, y_i y sus frecuencias dan como resultado:

Luego:

Σx_i·y_i·f_i = 58

σ_xy = (58/10) – 3·1,7 = 0,7

c)  Coeficiente de correlación: 

r = σ_xy/σ_x·σ_y

r = 0,7/1,2649·1,3454 = 0,4113