El Sapo Sabio

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 09

Dada la función de probabilidad de la variable aleatoria X:

Calcula:

a)  P(1<X≤5)

b)  P(X>4)

c)  P(X>8)

d)  P(X≤8)

Solución:

a)   

P(1<X≤5) = P(X=2) + P(X=4) = (1/4) + (1/4) = 2/4 = 1/2

b)   

P(X>4) = P(X=6) + P(X=8) = (1/3) + (1/6) = (2+1)/6 = 1/2

o también:

P(X>4) = 1 – P(X≤4) = 1 – [(1/4) + (1/4)] = 1 – (2/4) = ½

c)    

P(X>8) = 0

d)    

P(X≤8) = 1 – P(X>8) = 1 – 0 = 1

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 08

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado. Halla:

a)  El espacio muestral

b)  Definir la variable aleatoria discreta X que representa el número de puntos obtenidos

c)  La función de probabilidad de la variable X y su representación gráfica.

Solución:

a)  El espacio muestral es:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b)  La variable aleatoria discreta X que representa el número de puntos obtenidos es una aplicación de E en ℝ tal que X(i) = i, por tanto, será la siguiente aplicación:

X (1) = 1; X (2) = 1; X (3) = 1; X (4) = 1; X (5) = 1; X (6) = 1

c)  Si suponemos que el dado no está trucado, las probabilidades de cada cara son iguales a 1/6, luego:

P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = 1/6

Función de probabilidad:

Su gráfica es:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 07

En una urna hay dos bolas rojas y una blanca. Sea el experimento de extraer una bola, observar su color y devolverla a la urna hasta que salga la bola blanca. Calcula la probabilidad de que suceda en la extracción de lugar k.

Solución:

2 Rojas + 1 Blanca = 3 Bolas

Blanca en la primera extracción:

X₁ = {B} → lugar 1 → P(X₁) = P(X=1) = 1/3

Blanca en la segunda extracción:

X₂ = {RB} →  lugar 2 → P(X₂) = P(X=2) = (2/3)·(1/3)

Blanca en la tercera extracción:

X₃ = {RRB} →  lugar 3 → P(X₃) = P(X=3) = (2/3)·(2/3)·(1/3) = (2/3)²·(1/3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blanca en la k-ésima  extracción:

X_k = {RR. . k – 1. . RB} →  lugar k → P(X_k) = P(X=k) = (2/3)^{k – 1}·(1/3)

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 06

Si la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es:

halla el valor de m.

Solución:

Como:

f(–2) + f(–1) + f(0) + f(1) + f(2) = 1

entonces:

(2m/5) + 2m = 1

2m +10m = 5

12m = 5

m = 5/12

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 05

Un juego consiste en sacar una carta de una baraja española (40 cartas):

Si se obtiene el rey de oros, se ganan 10 puntos.

Si se obtiene el rey de copas, se ganan 6 puntos.

Si se obtiene el rey de espadas, se ganan 4 puntos.

Si se obtiene el rey de bastos, se ganan 3 puntos.

Si no se obtiene ningún rey, se pierde 1 punto.

Sea X la variable aleatoria, que indica el número de puntos obtenidos en una jugada. Calcula su función de probabilidad y dibuja el diagrama de barra.

Solución:

Sean los sucesos:

A = {obtener rey de oros}

B = {obtener rey de copas}

C = {obtener rey de espadas}

D = {obtener rey de bastos}

F = {no obtener rey}

Probabilidad de los anteriores sucesos:

P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/40

P(F) = 36/40

Función de probabilidad:

Su gráfica es: