El Sapo Sabio

Distribución normal reducida 02

Si X es una variable aleatoria con distribución N(0, 1), halla a partir de la tabla de la distribución normal tipificada el valor de:

a)  P[0,27≤X≤1,74]

b)  P[–1,4≤X≤–0,68]

c)  P[–0,95≤X≤1,16]

d)  P[X≤5]

Solución:

a)     

La probabilidad buscada es igual al área sombreada, por tanto:

P[0,27≤X≤1,74] = P[X≤1,74] – P[X≤0,27] = 0,9591 – 0,6064 = 0,3527

b)     

Según la anterior figura, por simetría de la gráfica tenemos que:

P[–1,4≤X≤–0,68] = P[0,68≤X≤1,4] = P[X≤1,4] – P[X≤0,68] = 0,9192 – 0,7517 = 0,1675

c)    

La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

P[–0,95≤X≤1,16] = P[X≤1,16] – P[X≤–0,95] =

= P[X≤1,16] – P[X≥0,95] = P[X≤1,16] – {1 – P[X≤0,95]} =

= P[X≤1,16] – 1 + P[X≤0,95]} = 0,8770 – 1 + 0,8289 = 0,7059

d)  La probabilidad indicada debería estar en la tabla. No obstante, se puede ver que el último valor que aparece es P[X≤3,99].

Esto quiere decir que el área bajo la gráfica a partir de 4 es despreciable, por lo que P[X≤k] para k ≥ 4 es casi la unidad, luego:

P[X≤5] = 1

Distribución normal reducida 01

Si X es una variable aleatoria con distribución N(0, 1), halla a partir de la tabla de la distribución normal tipificada el valor de:

a)  P[X≤1,23]

b)  P[X≥1,25]

c)  P[X≥–2,3]

d)  P[X≤–0,84]

Solución:

a)  Se trata de hallar mediante la tabla de los valores de la distribución normal, N(0, 1), el valor correspondiente a 1,2 + 0,03. (Las unidades y las décimas en la columna de la izquierda y las centésimas en la fila superior).

Por tanto:

P[X≤1,23] = 0,8907

La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

b)     

La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

Como el área total es igual a uno tenemos que:

P[X≥1,25] = 1 – P[X<1,25] = 1 – 08944 = 0,1056

c)    

Según la anterior figura, por simetría de la gráfica:

P[X≥–2,3] = P [X≤2,3] = 0,9893

d)      

De acuerdo con los apartados b) y c) y según la anterior figura:

P[X≤–0,84] = P[X≥0,84] = 1 – P[X≤0,84] = 1 – 0,7995 = 0,2005

Parámetros de una variable aleatoria continua 10

Dada la función:

a)  Comprueba que f es una función de densidad para cualesquiera a, b ∊ ℜ, a < b.

b)  Halla la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria continua X correspondiente.

c)  Para el caso a = 2 y b = 5, halla su función de distribución F y calcula: P[3≤X≤4], P[X>6], P[X≤3,5], utilizando f y F.

Solución:

a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

Como a < b, entonces:

b – a > 0 → 1/(b – a) > 0

luego:

f(x) ≥ 0

luego f es una función de densidad.

b)  Esperanza:

Varianza:

Desviación típica:

c)  Para el caso a = 2 y b = 5, la función de densidad es:

y su función de distribución será:

Utilizando f(x):

Utilizando F(x):

P[3≤X≤4] = P[X≤4] – P[X≤3] = F(4) – F(3) =

= [(4 – 2)/3] – [(3 – 2)/3] = (2/3) – (1/3) = 1/3

P[X>6] = 1 – P[X≤6] = 1 – F(6) = 1 – 1 = 0

P[X≤3,5] = F(3,5) = (3,5 – 2)/3 = 1,5/3 = 0,5

Parámetros de una variable aleatoria continua 09

Dada la función

a)  Halla el valor de k para que f sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

b)  Considera el valor de k que has hallado en el apartado anterior y calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de X.

Solución:

a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

Si k≥0 entonces f(x)≥0, para todo x, y f puede ser una función de densidad.

Por tanto si k = 1/8 = 0,125, f(x) es función de densidad.

b)     

Esperanza:

Varianza:

         Desviación típica:

Parámetros de una variable aleatoria continua 08

La función de distribución de una variable aleatoria X es:

a)  Halla la función de densidad f teniendo en cuenta que F’(x) = f(x)

b)  Calcula las probabilidades siguientes a partir de f y de F:

P[X≥9], P[X≤7,5], P[2≤X≤8], P[7,5≤X≤15]

c)  Halla la esperanza, la varianza y la desviación típica de X

Solución:

a)  Función de densidad:

b)  Aplicando f:

Aplicando F:

P[X≥9] = F(10) – F(9) = 1 – (4/5) = 1/5 = 0,2

P[X≤7,5] = F(7,5) – F(5) = (2,5/5) – 0 = 0,5

P[2≤X≤8] = F(8) – F(2) = (3/5) – 0 = 0,6

P[7,5≤X≤15] = F(15) – F(7,5) = 1 – (2,5/5) = 1 – 0,5 = 0,5

c)   

Esperanza:

Varianza:

Desviación típica: