El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Propiedades de la probabilidad 25

    Posted on marzo 9th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean dos sucesos M y N tales que P(M) = 1/5, P(N) = 1/2 y P(MUN) = 3/5. Halla:

    a)  P(M’UN)

    b)  P(M’/N)

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 1/5; P(N) = 1/2; P(MUN) = 3/5

    a)  Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(M’UN) = P(M’) + P(N) – P(M’N)

    P(M) + P(M’) = 1 → P(M’) = 1 – P(M) = 1 – (1/5) = 4/5

    Ahora nos falta saber el valor de P(M’N)

    PROPIED PROBAB 24

    El complementario de M es todo lo que no pertenece a M, es decir, todo el espacio sombrado de amarillo. Por tanto la intersección con N será lo que pertenece a N pero no a M, o sea, N menos M, luego:

    P(M’∩N) = P(N – M) = P(N) – P(M∩N)

    Aplicando la probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(M∩N)

    P(M∩N) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(M∩N) = (1/5) + (1/2) – (3/5) = (2 + 5 – 6)/10 = 1/10

    P(M’UN) = (1/2) – (1/10) = 4/10

    P(M’UN) = (4/5) + (1/2) – (4/10) = (8 + 5 – 4)/10 = 9/10 = 0,9

    b)  Probabilidad condicionada:

    P(M’/N) = P(M’∩N)/P(N)

    Del apartado anterior tenemos que:

    P(M’∩N) = 1 – P(M) + P(N) – P(M’UN)

    P(M’∩N) = 1 – (1/5) + (1/2) – (9/10)

    P(M’∩N) =  (3/2) – (11/10) = 4/10 = 2/5

    P(M’/N) = (2/5)/(1/2) = 4/5

     


  • Propiedades de la probabilidad 24

    Posted on marzo 6th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean dos sucesos tales que P(M’) = 1/4, P(MUN) = 7/8 y P(M∩N) = 1/4. Halla:

    a)  P(N)

    b)  P(M’∩N)

    c)  P(N/M')

     

     

    Solución:

    Datos: P(M’) = 1/4; P(MUN) = 7/8; P(M∩N) = 1/4

    a)  Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(N) = P(MUN) – P(M) + P(MN)

    Ahora debemos hallar P(M):

    P(M) + P(M’) = 1 → P(M) = 1 – P(M’)

    Sustituyendo en al expresión de la probabilidad de la unión de sucesos

    P(N) = P(MUN) – 1 + P(M’) + P(MN)

    P(N) = (7/8) – 1 + (1/4) + (1/4)

    P(N) = (7/8) – 1 + (2/4) = (7/8) – 1 + (1/2)

    P(N) = (7/8) – (1/2) = (7 – 4)/8 = 3/8

    b)     

    PROPIED PROBAB 24

    El complementario de M es todo lo que no pertenece a M, es decir, todo el espacio sombrado de amarillo. Por tanto la intersección con N será lo que pertenece a N pero no a M, o sea, N menos M, luego:

    P(M’∩N) = P(N – M) = P(N) – P(M∩N)

    P(M’∩N) = (3/8) – (1/4) = (3 – 2)/8 = 1/8

    c)  Fórmula de la probabilidad condicionada: 

    P(N/M’) = P(N∩M’)/P(M’)

    P(N/M’) = (1/8)/(1/4) = 4/8 = 1/2

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 23

    Posted on marzo 2nd, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean M y N dos sucesos tales que P(M) = 2/5, P(N) = 4/5 y P(MN) = 8/25, razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

    a)  N pues P(M) < P(N).

    b)  M y N son independientes.

    c)  MUN es el suceso seguro.

    d)  P(MUN) = 4/5

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 2/5; P(N) = 4/5; P(MN) = 8/25

    a)  No es cierta, ya que si:

    PROPIED PROBAB 22

    se verifica que: MN = M, por lo tanto P(MN) = P(M) y esto no ocurre.

    b)  Cierta ya que M y N son independiente pues:

    P(M)·P(N) = (2/5)·(4/5) = 8/25 = P(MN)

    c)  Falsa pues:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

     P(MUN) = (2/5) + (4/5) – (8/25) = (10 + 20 – 8)/25 = 22/25 ≠ 1

    d)  Dato: P(MUN) = 4/5

    Falsa, porque en el apartado anterior ya se ha visto que:

    P(MUN) = 22/25

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 22

    Posted on febrero 27th, 2017 ManuelMiralles No comments

      

     Dados dos sucesos M y N, P(M) = P(N) = 1/2 y P(M/N) = 1/4, se verifica que:

    PROPIED PROBAB 22

    Razona si la anterior afirmación es verdadera o falsa.

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = P(N) = 1/2; P(M/N) = 1/4

    Si:

    PROPIED PROBAB 22

    se verifica que:

    MUN = N y MN = M

    luego:

    P(MN) = P(M) = 1/2

    Fórmula de la propiedad condicionada:

    P(M/N) = P(MN)/P(N)

    P(MN) = P(M/N)·P(N)

    Sustituyendo valores:

    P(MN) = (1/4)·(1/2) = 1/8 ≠ 1/2

    Por tanto la afirmación es falsa.

     

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 21

    Posted on febrero 23rd, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean M y N dos sucesos de un experimento aleatorio tales que: P(MUN) = 4/5, P(MN) = 1/2 y P(M’) = 1/5. A partir de estos valores, podemos concluir que:

    a)  P(N) = 1 – P(M)

    b)  P(N) – P(M) = 1

    c)  P(N) = 2/5

    d)  No podemos obtener ninguna conclusión por desconocer M y N

     

     

    Solución:

    Datos: P(MUN) = 4/5; P(MN) = 1/2; P (M’) = 1/5

    Para poder responder a los diferentes apartados necesitamos conocer: P(M) y P(N)

    P(M) + P(M’) = 1

    P(M) = 1 – P(M’) = 1 – (1/5) = 4/5

    Los sucesos M y N son compatibles porque: P(MN) = 1/2

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    (4/5) = (4/5) + P(N) – (1/2)

    P(N) = 1/2

    a)   

    P(N) = 1 – P(M) no se verifica, pues: 1 – P(M) = 1 – (4/5) = 1/5 ≠ 1/2

    b)   

    P(N) – P(M) = 1 no se verifica porque se tendría que:

    P(N) = 1 + P(M) = 1 + (4/5) = 9/5

    y la probabilidad de B sería mayor que 1 y eso no es posible.

    c)  P(N) = 2/5 es falsa pues ya se ha visto que P(N) = 1/2.

    d)  Esta afirmación también falsa ya que sí que se ha podido calcular M y N.

    Por tanto ninguna de las conclusiones es cierta.