El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 01

    Posted on mayo 8th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Se consideran dos sucesos M y N, asociados a un experimento aleatorio con: P(M) = 2/7, P(N) = 3/7 y P(MUN) = 4/7.

    a)  Calcula P(M/N) y P(N/M)

    b)  Determina si M y N son independientes.

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 2/7, P(N) = 3/7, P(MUN) = 4/7

    a)  Fórmula de la probabilidad condicionada:

    P(M/N) = P(M∩N)/P(N)

    Probabilidad de la unión de sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(M∩N)

    P(M∩N) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    Sustituyendo en la fórmula de la probabilidad condicionada:

    P(M/N) = [P(M) + P(N) – P(MUN)]/P(N)

    Por tanto:

    P(M/N) = [(2/7) + (3/7) – (4/7)]/(3/7)

    P(M/N) = (1/7)/(3/7) = 1/3

    P(N/M) = [(2/7) + (3/7) – (4/7)]/(2/7)

    P(N/M) = (1/7)/(2/7) = 1/2

    b)  Dos sucesos, M y N, se dice que son independientes cuando:

    P(M/N) = P(M)                  P(N/M) = P(N)

    Luego no son independientes.

    También, se puede saber que M y N son independientes si se verifica la siguiente igualdad:

    P(M∩N) = P(M)·P(N)

    P(M∩N) = P(M) + P(N) – P(MUN) = (2/7) + (3/7) – (4/7) = 1/7

    P(M)·P(N) = (2/7)·(3/7) = 6/49

    Como P(M∩N) ≠ P(M)·P(N), M y N no son independientes.

     

     

  • Probabilidad condicionada 04

    Posted on mayo 4th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Un 35% de los socios de una asociación deportiva son aficionados del equipo A; un 30% del equipo B y un 15% son partidarios de ambos equipos. Calcula la probabilidad de que al elegir un socio al azar:

    a)  Sea aficionado de B, sabiendo que le gusta A.

    b)  Sea aficionado de ambos equipos, sabiendo que le gusta, al menos, uno de los dos.

     

     

    Solución:

    Sean los sucesos: M = {Al socio le gusta el equipo A} y N = {Al socio le gusta el equipo B}

    Según los datos del problema tenemos las siguientes probabilidades:

    P(M) = 0,35, P(N) = 0,30 y P(MN) = 0,15

    a)    

    P(N/M) = P(MN)/P(M)

    P(N/M) = 0,15/0,35 = 3/7 = 0,43

    b)   

    P[(MN)/P(MUN)] = P[(MN)(MUN)]/P(MUN) = P(MN)/P(MUN)

    P[(MN)/P(MUN)] = P(MN)/[P(M) + P(N) – P(MN)]

    P[(MN)/P(MUN)] = 0,15/(0,35 + 0,30 – 0,15)

    P[(MN)/P(MUN)] = 0,15/0,50 = 3/10 = 0,3

     

     

     

  • Probabilidad condicionada 03

    Posted on mayo 1st, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    En un curso hay 65 alumnos entre chicos y chicas. En una evaluación, los aprobados y suspensos fueron los siguientes:

     

    Chicos

    Chicas

    Aprobados

    15

    20

    Suspensos

    10

    20

    Total

    25

    40

     

    Halla la probabilidad de que un alumno, tomado al azar,

    a)  sea una chica,

    b)  sea una chica y esté aprobada,

    c)  esté aprobada sabiendo que es chica.

     

     

    Solución:

    a)  Sea el suceso A =  "ser chica".

    Casos favorables = 40. Casos posibles = 65.

    P(A) = 40/65 = 8/13

    b)  Sea el suceso B = "ser chica y está aprobada".

    Casos favorables = 20. Casos posibles = 65.

    P(A ∩ B) = 20/65 = 4/13

    c)  Como se trata de un suceso condicionado:

    P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)

    P(B/A) = (4/13)/(8/13) = 4/8 = 1/2

    O, también:

    Como se sabe que el alumno elegido es una chica, tenemos:

    Casos favorables = 20. Casos posibles = 40, luego:

    P(A/B) = 20/40 = 1/2

     

     

  • Probabilidad condicionada 02

    Posted on abril 27th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    De una baraja de cuarenta cartas extraemos una carta. Calcula la probabilidad de que:

    a)  Sea una copa.

    b)  Sea un caballo o una copa.

    c)  Si sabemos que es una espada, que sea figura.

    d)  Si ahora extraemos dos cartas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean de oros?

    Nota: Se considera el as como figura.

     

     

    Solución:

    a)  Casos favorables = 10 copas. Casos posibles = 40 naipes

    P(C) = 10/40 =1/4

    b)  Son sucesos compatibles pues existe una carta que es el caballo de copas, por tanto:

    P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

    P(A U B) = (4/40) + (10/40) – (1/40)= 13/40

    c)  Como se trata de un suceso condicionado:

    P(F/E) = P(F ∩ E)/P(E)

    P(F/E) = (4/40)/(10/40) = 4/10 = 2/5

    O, también:

    Como se sabe que la carta elegida es espada, tenemos:

    Casos favorables = 4. Casos posibles = 10, luego:

    P(A/B) = 4/10 = 2/5

    d)  Como la carta extraída no se devuelve a la baraja, las condiciones de la segunda extracción es distinta pues la composición de la baraja no es la misma (una carta menos), y su resultado se ve afectado por cuál es elemento del primer suceso, luego los sucesos son dependientes.

    P(O O) = (10/40)·(9/39) = (1/4)·(3/13) = 3/52

     

      

  • Probabilidad condicionada 01

    Posted on abril 24th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    En un experimento aleatorio se consideran los sucesos M y N de los que se saben que: P(M) = 0,55; P(N) = 0,25 y P(M U N) = 0,55. Calcula la probabilidad de que ocurra el suceso M sabiendo que se ha verificado el suceso N.

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 0,55; P(N) = 0,25; P(M U N) = 0,55

    P(M/N) = P(M∩N)/P(N)

    M es el suceso que sea quiere hallar.

    N es el suceso conocido que condiciona el resultado del suceso M.

    Esta probabilidad cumple todas las propiedades que tiene cualquier probabilidad.

    Para saber cuál es el suceso M y cuál es el suceso N, normalmente se busca una serie de frases que nos indica cada uno de estos sucesos, por ejemplo:

    Calcula la probabilidad de M, conociendo el suceso N.

    Halla la probabilidad de M, dado el suceso N.

    Dado el suceso N, calcula la probabilidad de M.

    Si ocurre N, la probabilidad de que ocurra M.

    También se puede tener en cuenta que M se encuentra en la frase interrogativa y N en la frase afirmativa.

    P(M U N) = P(M) + P(N) – P(M N)

    P(M N) = P(M) + P(N) – P(M U N)

    P(M N) = 0,55 + 0,25 – 0,55 = 0,25

    P(M/N) = 0,25/0,25 = 1