El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de centralización de una variable discreta 02

    Posted on septiembre 20th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Halla la media de la siguiente distribución: {5, 10, 13, 27, 38}.

     

     

    Solución:

    Cuando los valores de la variable estadística discreta no están repetidos, se trata del caso más sencillo, la expresión de la media aritmética es la siguiente:

    M = Σxi/n

    siendo n el número de datos.

             Por tanto:

    M = (5 + 10 + 13 + 27 + 40)/5 = 19

     

     

     

  • Medidas de centralización de una variable discreta 01

    Posted on septiembre 17th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Nos dan la siguiente distribución de notas: 2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 10.

    a)  Haz la tabla de frecuencias.

    b)  Calcula la media, la moda y la mediana.

    c)  Representa el diagrama de barras para la distribución de frecuencias absolutas.

     

     

    Solución:

    a)  Tabla de frecuencias:  

    xi

    fi

    Fi

    hi

    2

    1

    2

    1/9

    4

    3

    2 + 3 = 5

    3/9

    5

    1

    5 + 1 = 6

    1/9

    7

    1

    6 + 1 = 7

    1/9

    9

    2

    7 + 2 = 9

    2/9

    10

    1

    9 + 1 = 10

    1/9

     

    9

     

    1

     

     

    Siendo: fi la frecuencia absoluta, Fi la frecuencia absoluta acumulada y hi la frecuencia relativa.

    b)  Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Con el fin de facilitar su cálculo realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    xi·fi

    2

    1

    2

    4

    3

    12

    5

    1

    5

    7

    1

    7

    9

    2

    18

    10

    1

    10

     

    Σfi = 9

    Σxi·fi = 54

     

     

    M = 54/9 = 6

    Moda (mayor fi):

    Mo = 4

    Mediana (Me):

    Nº de datos que preceden a Me = Nº de datos que siguen a Me

    2

    4

    4

    4

    5

    7

    9

    9

    10

     

     

    Me = 5

    c)    

     

     

  • La binomial como aproximación de la normal 04

    Posted on septiembre 13th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Una moneda corriente se lanza 30 veces. Halla la probabilidad de obtener entre 17 y 22 caras usando:

    a)  La distribución binomial

    b)  aproximación de la normal a la binomial

     

     

    Solución:

    a)  Se trata de una distribución binomial B (30; 0,5), con n = 30, p = 0,5, q = 1 – p = 0,5

    b)  Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, entonces:

    n·p = 30·0,5 = 15

    n·q = 30·0,5 = 15

    Como se cumplen las condiciones exigidas, B(30; 0,5) ≈ N(15; 2,74)

     De acuerdo con la corrección de Yates, tendremos:

     Tipificando la variable X' se puede utilizar la tabla de la N(0, 1).

     

     

     

     

  • La binomial como aproximación de la normal 03

    Posted on septiembre 10th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    En una estación de aforos se ha observado que el 62% de los vehículos son automóviles turismo y el resto camiones (no se consideran los vehículos de dos ruedas). Se estudia el paso de 2000 vehículos y sea X la variable aleatoria que representa el número de turismos que pasan por la estación. Se pide:

    a)  Obtén la función de probabilidad de X

    b)  P [1200 ≤ X ≤ 1300]

    c)  P [X ≤ 1250]

     

     

    Solución:

    a)  Se trata de una distribución binomial B(2000; 0,62), con n = 2000, p = 0,62 y q = 1 – p = 0,38.

    Por tanto la función de probabilidad es:

    b)  Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, entonces:

    n·p = 2000·0,62 = 1240

    n·q = 2000·0,38 =760

    Como se cumplen las condiciones exigidas, B(2000; 0,62) ≈ N(1240; 2,17), teniéndose que tipificar los valores de la distribución normal.

    Para hallar la probabilidad primero hay que hacer la corrección de Yates, en este caso:

    c)  Para X ≤ 1250, primero hay que hacer la oportuna corrección, en este caso:

     

     

     

  • La binomial como aproximación de la normal 02

    Posted on septiembre 6th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    El promedio de aciertos en el tiro a canasta de un jugador de baloncesto es del 73 por 100. Si lanza 200 veces, ¿cuál es la probabilidad de que enceste más de 160 lanzamientos?

     

     

    Solución:

    Se trata de una distribución binomial B(200; 0,73), pues consiste en repetir 200 veces la misma prueba, manteniéndose constante la probabilidad de éxito en 0,73 (encestar 73 veces de 100 tiros).

    donde:

    n = 200; p = 0,73; q = 1 – p = 1 – 0,73 = 0,27

    Tenemos que calcular:

    P[X > 160] = P[X = 161] + P[X = 162]+….+ P[X = 200]

    Estos cálculos son prácticamente imposibles si no es con ordenador, pero si se puede resolver con la binomial como aproximación de la normal.

    De la distribución binomial B(200; 0,73) tenemos que:

    μ = n p = 200·0,73 = 146

    n q = 200·0,27 = 54

    Como np y nq son ambos mayores que 5, la aproximación es casi perfecta.

    X es B(200; 0,73) X’ es N(146; 6,28) Z es N(0, 1)

    Para hallar la probabilidad primero hay que hacer la oportuna corrección, en este caso: