El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Propiedades de la probabilidad 15

    Posted on febrero 2nd, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos M y N en los siguientes casos:

    a)  P(M) = 1/4, P(N) = 1/2 y P(MUN) = 2/3

    b)  P(M) = 0 y P(N) = 1/2

     

     

    Solución:

    Dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el suceso imposible, es decir:

    M∩N = Ø

    Por tanto si P(M∩N) = 0 los sucesos son incompatibles, pero si P(M∩N) ≠ 0 los sucesos son compatibles.

    a)  Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(M∩N) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(M∩N) = (1/4) + (1/2) – P(2/3)

    P(M∩N) = (3 + 6 – 8)/12 = 1/12 ≠ 0

    Los sucesos son compatibles.

    b)  Si P(M) = 0 entonces P(M∩N) = 0, luego los sucesos son incompatibles.

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 14

    Posted on enero 30th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Si la probabilidad de que ocurra dos sucesos a la vez es menor que 1/2, la suma de las probabilidades de ambos (por separado), no puede exceder de 3/2. Razona la anterior afirmación.

     

     

    Solución:

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(M) + P(N) = P(MUN) + P(MN)

    Como P(MUN) ≤ 1 y P(MN) < 1/2, entonces:

    P(M) + P(N) < 1 + (1/2)

    P(M) + P(N) < 3/2

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 13

    Posted on enero 26th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Si P(M) = 0,5; P(N’) = 0,6 y P(M’N’) = 0,25, halla:

    a)  P(MUN)

    b)  P(M/N)

    c)  P(MN’)

    d)  ¿Son M y N independientes? ¿Por qué?

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 0,5; P(N’) = 0,6; P(M’N’) = 0,25

    a)  Según las leyes de Morgan:

    M’N’ = (MUN)’

    luego:

    P(M’N’) = P(MUN)’ = 1 – P(MUN)

    P(MUN) = 1 – P(M’N’) = 1 – 0,25 = 0,75

    b)  Fórmula de la probabilidad condicionada:

    P(M/N) = P(MN)/P(N)

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MN) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(N) = 1 – P(N’) = 1 – 0,6 = 0,4

    P(MN) = 0,5 + 0,4 – 0,75 = 0,15

    P(M/N) = 0,15/0,4 =0,375

    c)    

    P(MN’) = P(M) – P(MN)

    P(MN’) = 0,5 – 0,15 = 0,35

    d)  Si los sucesos M y N son independiente se debe cumplir que:

    P(MN) = P(M)·P(N)

    P(MN) = 0,15

    P(M)·P(N) = 0,5·0,4 = 0,2

    No son independientes porque P(MN) ≠ P(M)·P(N)

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 12

    Posted on enero 23rd, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Halla P(M/N) y P(N/M), sabiendo que: P(M) = 0,3; P(N’) = 0,4 y P(MUN) = 0,7

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 0,3; P(N’) = 0,4; P(MUN) = 0,7

    Fórmula de la probabilidad condicionada:

    P(M/N) = P(M∩N)/P(N)

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    Despejando P(MN) tenemos que:

    P(MN) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(M/N) = [P(M) + P(N) – P(MUN)])/P(N)

    P(N) + P(N’) = 1 → P(N) = 1 – 0,4 = 0,6

    P(M/N) = (0,3 + 0,6 – 0,7)/0,6

     P(M/N) = 0,2/0,6 = 2/6 = 1/3

    Procediendo de la misma forma:

    P(N/M) = P(N∩M)/P(M)

    P(N/M) = [P(N) + P(M) – P(NUM)])/P(M)

    P(M/N) = (0,6 + 0,3 – 0,7)/0,3

     P(M/N) = 0,2/0,3 = 2/3

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 11

    Posted on enero 19th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean M y N dos sucesos de un experimento aleatorio tales que: P(M) = 1/5, P(N’) = 1/3 y P(M∩N) = 1/8. Halla:

    a)  P(N)

    b)  P(MUN)

    c)  P(M∩N’)

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 1/5; P(N’) = 1/3; P(M∩N) = 1/8

    a)    

    P(N) + P(N’) = 1 → P(N) = 1 – P(N’)

    P(N) = 1 – (1/3) = 2/3

    b)  Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MUN) = (1/5) + (2/3) – (1/8)

    P(MUN) = (24 + 80 – 15)/120 = 89/120

    c)   

    P(M∩N’) = P(M) – P(M∩N)

    P(M∩N’) = (1/5) – (1/8) = 3/40

    Este último ejercicio también se puede resolver de la siguiente forma:

    P(M) = 24/120, P(N) = 80/120, P(MUN) = 89/120, P(MN) = 15/120

    Si el espacio muestral tiene 120 elementos: MN = 15, M – N = 24 – 15 = 9, N – M = 80 – 15 = 65 y como MN’ = M – N’, tenemos que:

    P(M∩N’) = P(M – N) = 9/120 = 3/40

    Y, por último, también lo podemos hacer de la siguiente manera:

    Si:

    E = {1, 2, 3,…., 120}

    y como N tiene 80 elementos podemos suponer que:

    N = {1, 2, 3,…., 80}

    (se pueden tomar 80 elementos cualquiera), luego:

    N’ = {81,…, 120}

    Como la intersección de M y N tiene 15 elementos y M tiene 24, podemos deducir que M tiene 9 elementos diferentes que N, por tanto M puede ser, por ejemplo, M  = {1, 2,…, 81, 82,…, 89}, por lo tanto:

    {M∩N’} = {81, 82,…,89} → P(M∩N’) = 9/120 = 3/40