El Sapo Sabio

Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 02

Dada la función:

Determina k para que f(x) sea una función de densidad.

Solución:

Para que f sea una función de densidad sea ha de cumplir que:

por tanto:

2k/3 = 1 → 2k = 3 → k = 3/2

Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 01

Sea la función:

a)  Comprueba que es una función de densidad

b)  Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad es f, calcula P[1,6≤X≤5,2]

Solución:

a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

Es evidente que f(x)≥0, "x, ya que f únicamente toma los valores 0 y 1/3.

Por tanto f es una función de densidad.

También se puede resolver teniendo en cuenta que el área del recinto formado por la gráfica de la función f(x) y el eje X ha de ser igual a uno.

Gráfica de la función:

b) 

O, también:

P[1,6≤X≤5,2] = A + 0 = (4 – 1,6)·(1/3) = 2,4/3 = 0,8

Cálculo de probabilidades de la distribución binomial 07

Un examen consta de 12 preguntas. Para cada una de ellas se proponen tres posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta. ¿Cuántas respuestas acertadas deben exigirse para aprobar, como mínimo, si la probabilidad de que alguien lo apruebe contestando al azar no debe ser superior al 2 %?

Solución:

Cada pregunta sólo admite dos resultados bien o mal.

Contestar bien a una pregunta es independiente del resultado de las otras y su probabilidad es siempre la misma, 1/3.

Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(12, 1/3) de donde tenemos que:

q = 1 – p = 1 –(1/3) = 2/3

Hemos de encontrar un valor k tal que:

P [X≥k] ≤ 0,02

siendo k el número de respuestas acertadas al azar.

O sea:

P [X≥k] = P [X=12] + P [X=11] + … + P [X=k] ≤ 0,02

1,9·10^–6 + 4,52·10^–5 + 4,97·10^–4 + 3,31·10^–3 + 1,49·10^–2 = 0,02

Por tanto, hay que exigir, como mínimo, ocho preguntas.

Cálculo de probabilidades de la distribución binomial 06

Determinar si es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que por lo menos aparece un 6 en cuatro tiradas de un dado correcto.

Solución:

Cada lanzamiento únicamente admite dos resultados “que salga seis” y “que no salga seis”.

“Que salga seis” en un lanzamiento es independiente de los otros resultados y su probabilidad es siempre la misma, 1/6.

Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(4, 1/6) de donde tenemos que:

q = 1 – p = 1 – (1/6) = 5/6

Probabilidad de que en cuatro tiradas “por lo menos salga un seis” es equivalente a “como mínimo salga un seis”:

Probabilidad de que en cuatro tiradas “no salga un seis”.

Como la probabilidad de que “por lo menos salga un seis” es mayor que la probabilidad de que “no salga un seis”, es ventajoso apostar a la primera condición.

Cálculo de probabilidades de la distribución binomial 05

Una familia tiene seis hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Halla la probabilidad de que haya:

a)  Dos niños como máximo.

b)  Al menos una niña.

c)  Al menos tres niños.

d)  Al menos una niña y un niño.

Solución:

Los sucesos que pueden tener lugar son: que sea niño o que no lo sea.

El que un hijo sea niño es independiente del sexo que tengan el resto y su probabilidad es siempre la misma, 0,50.

Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(6; 0,50) de donde tenemos que:

q = 1 – p = 1 – 0,50 = 0,50

a)     

b)   (Al menos una niña) = (Una niña como mínimo) = (Cinco niños como máximo)

c)    (Al menos tres niños) = (Tres niños como mínimo)

d)   (Al menos una niña y un niño) = (Una niña y un niño como mínimo)