El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas
-
Aplicaciones. Estimaciones 06
Posted on marzo 18th, 2019 No commentsEl índice de mortalidad y de una muestra de población que consumía diariamente x cigarrillos aparece en la tabla adjunta:
Nº de cigarrillo x
3
5
6
15
20
40
45
Índice de mortalidad y
0,2
0,3
0,3
0,5
0,7
1,4
1,5
a) Estudia la correlación entre x e y.
b) Halla la recta de regresión de y sobre x.
c) ¿Qué mortalidad se podría predecir para un consumidor de 60 cigarrillos diarios?
Solución:
a) Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
3
0,2
9
0,04
0,6
5
0,3
25
0,09
1,5
6
0,3
36
0,09
1,8
15
0,5
225
0,25
7,5
20
0,7
400
0,49
14
40
1,4
1600
1,96
56
45
1,5
2025
2,25
67,5
134
4,9
4320
5,17
148,9
Medias (n = 7):
Mx = Σxi/n = 134/7 = 19,14
My = Σyi/n = 4,9/7 = 0,7
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (148,9/7) – 19,14·0,7 = 7,87
Desviaciones típicas:
r = 7,87/15,8·0,5 = 0,996
Como la correlación es próxima a 1 la correlación es muy fuerte.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
y = 0,7 + (7,87/15,82)·(x – 19,14)
y = 0,7 + 0,032·(x – 19,14)
y = 0,7 + 0,032 x – 0,6
y = 0,032 x + 0,1
c)
x = 60 → y = 0,032·60 + 0,1 ≈ 2
Aunque el grado de correlación es alto, la predicción no es muy fiable ya que el valor de la variable está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [3, 45]).
-
Aplicaciones. Estimaciones 05
Posted on marzo 14th, 2019 No commentsLas alturas y pesos de cinco alumnos varones de 1º de Bachillerato son:
Alumno:
A
B
C
D
E
X
Altura (m)
1,67
1,76
1,63
1,80
1,60
Y
Peso (kg)
60
65,5
55,1
89,9
49,9
Hallar:
a) Coeficiente de correlación, y comentar el valor obtenido.
b) Recta de regresión de Y sobre X.
c) ¿Qué peso se espera de un alumno que mida 1,80 m?
Solución:
a) Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy
siendo:
Covarianza: σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My Medias: Mx = Σxi/n; My = Σyi/n
Desviaciones típicas:
xi
yi
xi2
yi2
xi yi
1,6
49,9
2,56
2490,01
79,84
1,63
55,1
2,6569
3036,01
89,813
1,67
60
2,7889
3600
100,2
1,76
65,5
3,0976
4290,25
115,28
1,8
89,9
3,24
8082,01
161,82
8,46
320,4
14,3434
21498,28
546,953
Mx = 8,46/5 = 1,69
My = 320,4/5 = 64,1
σxy = (546,953/5) – 1,69·64,1 = 1,06
r = 1,06/0,1122·13,81 = 0,6841
Existe correlación positiva, por tanto, cuando una variable aumenta la otra también. Como r no está próxima a 1, la correlación es débil, luego poco fiable.
b) Recta de regresión Y sobre X:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
y = 64,1 + (1,06/0,013)·(x – 1,69)
y = 64,1 + 81,54·(x – 1,69)
y = 64,1 + 81,54 x – 137,80
y = 81,54 x – 73,7
c) Estimaciones:
x = 1,80 m → y = 81,54·1,80 – 73,7 ≈ 73,1 kg
La estimación no es buena pues si nos fijamos en la tabla debería haber salido un peso aproximado a 89,9 kg. Esto es lógico pues la correlación es muy pequeña.
-
Aplicaciones. Estimaciones 04
Posted on marzo 11th, 2019 No commentsCinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años pesan, respectivamente, 14, 20, 30, 42 y 44 kg.
a) Estudia la correlación que hay entre la edad y el peso en esas niñas. Interprétalo.
b) ¿Cuál sería el peso estimado de una niña de 6 años?
c) ¿Cuál será la edad aproximada de una niña que pesa 50 kg?
d) ¿Cuál de las estimaciones anteriores es más fiable? ¿Por qué?
Solución:
Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.
Edad
Peso
2
14
3
20
5
30
7
42
8
44
A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal positiva.
a) Correlación es el grado de dependencia que existe entre dos variables.
Coeficiente de correlación lineal: r = σxy/σx·σy, varía entre –1 y + 1.
Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.
Si r > 0 la correlación es directa y si r = 1 la correlación es positiva perfecta.
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
2
14
4
196
28
3
20
9
400
60
5
30
25
900
150
7
42
49
1764
294
8
44
64
1936
352
25
150
151
5196
884
Medias (n = 5):Mx = Σxi/n = 25/5 = 5
My = Σyi/n = 150/5 = 30
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (884/5) – 5·30 = 26,8
Desviaciones típicas:
Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.
Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.
Recta de regresión de Y sobre X:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
y = 30 + (26,8/2,282)·(x – 5)
y = 30 + 5,16·(x – 5)
y = 30 + 5,16 x – 25,8
y = 5,16 x + 4,2
b)
x = 6 → y = 5,16·6 + 4,2 = 35,16
Para x = 6 años muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 35 kg.
c)
y = 50 → 50 = 5,16 x + 4,2 → 45,8 = 5,16 x
x = 45,8/5,16 = 8,88 → x = 9
Para y = 50 kg muy probable que el valor correspondiente de x sea próximo a 9 años.
d) A pesar de que el grado de correlación es alto, la segunda predicción es menos fiable que la primera porque el valor de la variable y está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [14, 44]).
-
Aplicaciones. Estimaciones 03
Posted on marzo 7th, 2019 No commentsEn la siguiente tabla se relacionan las semanas que van pasando y el peso de una persona que está haciendo una dieta de adelgazamiento.
Semanas
kg
1
88,5
2
87
3
84
5
79
a) Obtén la media aritmética y la desviación típica de cada variable.
b) Determina la covarianza entre ambas variables.
c) ¿Cuál es el coeficiente de correlación entre ambas variables? ¿Qué se deduce?
d) Halla la ecuación de la recta de regresión del peso respecto del número de semanas y calcula qué peso se estima que tendría esa persona en la cuarta semana.
Solución:
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
1
88,5
1
7832,25
88,5
2
87
4
7569
174
3
84
9
7056
252
5
79
25
6241
395
11
338,5
39
28698,25
909,5
a) Medias (n = 4):
Mx = Σxi/n = 11/4 = 2,75 semanas
My = Σyi/n = 338,5/4 = 84,625 kg
Desviaciones típicas.
Desviación típica de x:
Desviación típica de y:
b) Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (909,5/4) – 2,75·84,625 = –5,34
c) Coeficiente de correlación:
r = σxy/σx·σy = –5,34/1,479·3,629 = –0,995
La correlación es inversa y casi perfecta.
d) Recta de regresión de Y sobre X:
y = m x + n
m = σxy/σx2 = –5,34/1,4792 = –2,44
y = –2,44 x + n
La recta pasa por el punto (Mx, My) = (2,75; 84,625), por tanto:
84,625 = –2,44·2,75 + n
n = 91,34
La recta de regresión es:
y = –2,44 x + 91,34
En la cuarta semana x = 4, luego:
y = –2,44·4 + 91,34 = 81,58 kg
-
Aplicaciones. Estimaciones 02
Posted on marzo 4th, 2019 No commentsEn una competición de patinaje artístico por parejas se otorgan dos notas: una a los ejercicios obligatorios (X) y otra a los ejercicios libres (Y).
Las seis parejas que disputan la final han obtenido los siguientes resultados:
X = obligatorios
5
5
6
7
7
7
Y = libres
5
7
7
7
7
8
a) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson e interpreta el resultado.
b) Calcula la recta de regresión de Y sobre X y la de X sobre Y.
c) Una pareja de patinadores ha obtenido un 8 en los ejercicios obligatorios. ¿Qué nota cabe esperar que haya obtenido en los ejercicios libres?
d) Otra pareja ha obtenido un 9 en los ejercicios libres. ¿Qué nota cabe esperar que haya obtenido en los ejercicios obligatorios?
e) Valora las predicciones efectuadas.
Solución:
xi
yi
xi2
yi2
xi·yi
5
5
25
25
25
5
7
25
49
35
6
7
36
49
42
7
7
49
49
49
7
7
49
49
49
7
8
49
64
56
37
41
233
285
256
a) Coeficiente de correlación de Pearson:
r = σxy/σx·σy
Medias (n = 6):
Mx = Σxi/n = 37/6 = 6,167
My = Σyi/n = 41/6 = 6,833
Covarianza:
σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (256/6) – 6,167·6,833 = 0,528
Desviaciones típicas:
r = 0,528/0,895·0,900 = 0,655
El valor de este coeficiente indica una correlación lineal positiva relativamente fuerte, lo que debe interpretarse como que las parejas de patinadores obtienen notas de un nivel similar en los ejercicios libre y en los obligatorios.
b) Rectas de regresión.
Recta de regresión de Y sobre X:
y = My + (σxy/σx2)·(x – Mx)
y = 6,833 + (0,528/0,8952)·(x – 6,167)
y = 6,833 + 0,659·(x – 6,167)
y = 6,833 + 0,659 x – 4,064
y = 6,833 + 0,659 x – 4,064
y = 0,659 x + 2,769
Recta de regresión X sobre Y:
x = Mx + (σxy/σy2)·(y – My)
x = 6,167 + (0,528/0,9002)·(y – 6,833)
x = 6,167 + 0,652·(y – 6,833)
x = 6,167 + 0,652 y – 4,455
x = 0,652 y + 1,712
c)
x = 8 → y = 0,659·8 + 2,769 ≈ 8
d)
y = 9 → x = 0,652·9 + 1,712 ≈ 8
e) Las predicciones se han obtenido para valores no muy alejados del punto medio de la distribución, (Mx, My). Además, el valor del coeficiente de Pearson, r = 0,655, indica una correlación relativamente fuerte. Sin embargo, el número de puntos utilizados para hallar la recta de regresión es pequeño. Por tanto, esto nos hace pensar que las estimaciones son predicciones fiables, aunque con reservas.
Comentarios recientes