Aplicaciones. Estimaciones 11

El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número, viene expresado en la siguiente tabla:

a)  Indica el grado de dependencia lineal. Interprétala

b)  Al cabo de 7 horas ¿cuántas bacterias habrá por unidad de volumen? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?

c)  ¿Y al cabo de 50 horas? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?

d)  ¿Después de cuántas horas se conseguiría obtener 40 bacterias por unidad de volumen?

Solución:

Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

A simple vista podemos afirmar que existe una dependencia estadística o correlación entre las variables X e Y, porque los puntos de la nube se agrupan en torno a una posible recta.

Grado:

Al ser esta recta reconocible se puede afirmar que la correlación es fuerte.

Sentido:

Positivo (cuando X aumenta Y aumenta)

Tipo:

Correlación lineal, ya que la nube de puntos se distribuye alrededor de una recta.

a)  Correlación es el grado de dependencia que existe entre dos variables.

r = σ_xy/σ_x·σ_y

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y

Medias:

M_x = Σx_i/n              M_y = Σy_i/n

Desviaciones típicas: 

Como n = 6:

M_x = 15/6 = 2,5

M_y = 206/6 = 34,3

σ_xy = (701/6) – 2,5·34,3 = 31,1

r = 31,1/1,7·18,8 = 0,97

Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva muy fuerte, como habíamos  predicho a la vista del diagrama de dispersión, ya que r es próxima a 1.

b)  Recta de regresión de Y sobre X:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

y = 34,3 + (31,1/1,7²)·(x – 2,5)

y = 34,3 + 10,8·(x – 2,5)

y = 34,3 + 10,8 x – 27

y = 10,8 x + 7,3

x = 7 → y = 10,8·7 + 7,3 = 82,9

Para x = 7 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 83 bacterias por unidad de volumen.

La estimación es muy fiable pues el valor de la variable x se encuentra muy cerca del intervalo [0, 5] y el grado de dependencia lineal es muy fuerte.

c)   

x = 50 → y = 10,8·50 + 7,3 = 547,3

Para x = 50 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 547 bacterias por unidad de volumen.

A pesar de que el grado de correlación es alto, esta predicción es menos fiable que la anterior porque el valor de la variable y está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [0, 5])

d)     

y = 40 → 40 = 10,8 x + 7,3

10,8 x = 40 – 7,3 = 32,7

x = 32,7/10,8 ≈ 3

Para y = 40 bacterias por unidad de volumen es muy probable que el valor correspondiente de x sea próximo a 3 horas.