Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Aplicaciones. Estimaciones 08

    Posted on marzo 25th, 2019 ManuelMiralles No comments

     

    Ocho niños de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 años pesan, respectivamente, 14, 18, 25, 30, 32, 35, 40 y 42 kg. Hallar las ecuaciones de las rectas de regresión de la edad sobre el peso y del peso sobre la edad, así como el coeficiente de correlación. ¿Cuál es la edad estimada de un niño que pesa 28 kg?

     

     

    Solución:

    x: edad

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    y: peso

    14

    18

    25

    30

    32

    35

    40

    42

     

    Rectas de regresión.

    Recta de regresión de la edad sobre el peso (X sobre Y):

    x = Mx + (σxyy2)·(y – My)

    Recta de regresión del peso sobre la edad (Y sobre X):

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    2

    14

    4

    196

    28

    3

    18

    9

    324

    54

    4

    25

    16

    625

    100

    5

    30

    25

    900

    150

    6

    32

    36

    1024

    192

    7

    35

    49

    1225

    245

    8

    40

    64

    1600

    320

    9

    42

    81

    1764

    378

    44

    236

    284

    7658

    1467

     

    Medias (n = 8):

    Mx = Σxi/n = 44/8 = 5,5

    My = Σyi/n = 236/8 = 29,5

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (1467/8) – 5,5·29,5 = 21,125

    Desviaciones típicas: 

    Recta de regresión de la edad sobre el peso:

    x = 5,5 + (21,125/9,332)·(y – 29,5)

    x = 5,5 + 0,24·(y – 29,5)

    x = 5,5 + 0,24 y – 7,1

    x = 0,24 y – 1,6

    Recta de regresión del peso sobre la edad: 

    y = 29,5 + (21,125/2,292)·(x – 5,5)

    y = 29,5 + 4·(x – 5,5)

    y = 29,5 + 4 x – 22

    y = 4 x + 7,5

    Coeficiente de correlación lineal: r = σxyx·σy, varía entre –1 y + 1.

    Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.

    Si r > 0 la correlación es directa y si r  = 1 la correlación es positiva perfecta.

    r = 21,125/2,29·9,33 = 0,989

    Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.

    Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.

    y = 28 → x = 0,24·28 – 1,6 = 5,12

    Para un niño que pesa 28 kg es muy probable que su edad sea próxima a 5 años.

     

     

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