Aplicaciones. Estimaciones 08

Ocho niños de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 años pesan, respectivamente, 14, 18, 25, 30, 32, 35, 40 y 42 kg. Hallar las ecuaciones de las rectas de regresión de la edad sobre el peso y del peso sobre la edad, así como el coeficiente de correlación. ¿Cuál es la edad estimada de un niño que pesa 28 kg?

Solución:

Rectas de regresión.

Recta de regresión de la edad sobre el peso (X sobre Y):

x = M_x + (σ_xy/σ_y²)·(y – M_y)

Recta de regresión del peso sobre la edad (Y sobre X):

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Medias (n = 8):

M_x = Σx_i/n = 44/8 = 5,5

M_y = Σy_i/n = 236/8 = 29,5

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (1467/8) – 5,5·29,5 = 21,125

Desviaciones típicas: 

Recta de regresión de la edad sobre el peso:

x = 5,5 + (21,125/9,33²)·(y – 29,5)

x = 5,5 + 0,24·(y – 29,5)

x = 5,5 + 0,24 y – 7,1

x = 0,24 y – 1,6

Recta de regresión del peso sobre la edad: 

y = 29,5 + (21,125/2,29²)·(x – 5,5)

y = 29,5 + 4·(x – 5,5)

y = 29,5 + 4 x – 22

y = 4 x + 7,5

Coeficiente de correlación lineal: r = σ_xy/σ_x·σ_y, varía entre –1 y + 1.

Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.

Si r > 0 la correlación es directa y si r  = 1 la correlación es positiva perfecta.

r = 21,125/2,29·9,33 = 0,989

Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.

Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.

y = 28 → x = 0,24·28 – 1,6 = 5,12

Para un niño que pesa 28 kg es muy probable que su edad sea próxima a 5 años.