Aplicaciones. Estimaciones 04

Cinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años pesan, respectivamente, 14, 20, 30, 42 y 44 kg.

a)  Estudia la correlación que hay entre la edad y el peso en esas niñas. Interprétalo.

b)  ¿Cuál sería el peso estimado de una niña de 6 años?

c)  ¿Cuál será la edad aproximada de una niña que pesa 50 kg?

d)  ¿Cuál de las estimaciones anteriores es más fiable? ¿Por qué?

Solución:

Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal positiva.

a)  Correlación es el grado de dependencia que existe entre dos variables.

Coeficiente de correlación lineal: r = σ_xy/σ_x·σ_y, varía entre –1 y + 1.

Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.

Si r > 0 la correlación es directa y si r  = 1 la correlación es positiva perfecta.

M_x = Σx_i/n = 25/5 = 5

M_y = Σy_i/n = 150/5 = 30

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (884/5) – 5·30 = 26,8

Desviaciones típicas: 

Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.

Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.

Recta de regresión de Y sobre X:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

y = 30 + (26,8/2,28²)·(x – 5)

y = 30 + 5,16·(x – 5)

y = 30 + 5,16 x – 25,8

y = 5,16 x + 4,2

b)   

x = 6 → y = 5,16·6 + 4,2 = 35,16

Para x = 6 años muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 35 kg.

c)     

y = 50 → 50 = 5,16 x + 4,2 → 45,8 = 5,16 x

x = 45,8/5,16 = 8,88 → x = 9

Para y = 50 kg muy probable que el valor correspondiente de x sea próximo a 9 años.

d)  A pesar de que el grado de correlación es alto, la segunda predicción es menos fiable que la primera porque el valor de la variable y está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [14, 44]).