Aplicaciones. Estimaciones 02

En una competición de patinaje artístico por parejas se otorgan dos notas: una a los ejercicios obligatorios (X) y otra a los ejercicios libres (Y).

Las seis parejas que disputan la final han obtenido los siguientes resultados:

a)  Calcula el coeficiente de correlación de Pearson e interpreta el resultado.

b)  Calcula la recta de regresión de Y sobre X y la de X sobre Y.

c)  Una pareja de patinadores ha obtenido un 8 en los ejercicios obligatorios. ¿Qué nota cabe esperar que haya obtenido en los ejercicios libres?

d)  Otra pareja ha obtenido un 9 en los ejercicios libres. ¿Qué nota cabe esperar que haya obtenido en los ejercicios obligatorios?

e)  Valora las predicciones efectuadas.

Solución:

a)  Coeficiente de correlación de Pearson:

r = σ_xy/σ_x·σ_y

Medias (n = 6):

M_x = Σx_i/n = 37/6 = 6,167

M_y = Σy_i/n = 41/6 = 6,833

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (256/6) – 6,167·6,833 = 0,528

Desviaciones típicas:

r = 0,528/0,895·0,900 = 0,655

El valor de este coeficiente indica una correlación lineal positiva relativamente fuerte, lo que debe interpretarse como que las parejas de patinadores obtienen notas de un nivel similar en los ejercicios libre y en los obligatorios.

b)  Rectas de regresión.

Recta de regresión de Y sobre X:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

y = 6,833 + (0,528/0,895²)·(x – 6,167)

y = 6,833 + 0,659·(x – 6,167)

y = 6,833 + 0,659 x – 4,064

y = 6,833 + 0,659 x – 4,064

y = 0,659 x + 2,769

Recta de regresión X sobre Y:

x = M_x + (σ_xy/σ_y²)·(y – M_y)

x = 6,167 + (0,528/0,900²)·(y – 6,833)

x = 6,167 + 0,652·(y – 6,833)

x = 6,167 + 0,652 y – 4,455

x = 0,652 y + 1,712

c)     

x = 8 → y = 0,659·8 + 2,769 ≈ 8

d)     

y = 9 →  x = 0,652·9 + 1,712 ≈ 8

e)  Las predicciones se han obtenido para valores no muy alejados del punto medio de la distribución, (M_x, M_y). Además, el valor del coeficiente de Pearson, r = 0,655, indica una correlación relativamente fuerte. Sin embargo, el número de puntos utilizados para hallar la recta de regresión es pequeño. Por tanto, esto nos hace pensar que las estimaciones son predicciones fiables, aunque con reservas.