Aplicaciones. Estimaciones 01

En la tabla adjunta da los alargamientos de una barra metálica por efecto de cambios en la temperatura. Calcular la recta de regresión y  efectuar las estimaciones y(55), x(4), y explica su significado.

Solución:

Temperatura = x_i              Alargamiento = y_i              n = 8

Recta de regresión:

y = M_y + (σ_xy/σ_x²)·(x – M_x)

Medias:

M_x = Σx_i/n = 274/8 = 34,25

M_y = Σy_i/n = 33/8 = 4,125

Covarianza:

σ_xy = (Σx_i·y_i/n) – M_x·M_y = (1710/8) – 34,25·4,125 = 72,47

Desviaciones típicas:

Recta de regresión:

y = 4,125 + (72,47/610,69)·(x – 34,25)

y = 4,125 + 0,118 x – 4,06

y = 0,118 x + 0,065

Coeficiente de correlación:

r = σ_xy/σ_x·σ_y = 72,47/24,7·3 = 0,978

Estimaciones:

x = 55 → y = 0,118·55 + 0,065 ≈ 6,6 mm

y = 4 → 4 = 0,118 x + 0,065 → x = (4 – 0,065)/0,118 ≈ 33,3

Las estimaciones son buenas porque la correlación es muy grande. Además, x₀ = 55 ºC está entre los valores manejados (entre 0ºC y 75ºC) y lo mismo le ocurre a y₀ = 4 mm.

No sería buena la estimación para, por ejemplo, x₀ = 100ºC, y mucho menos para x₀ = 200ºC.