Rectas de regresión 08

Si no hay correlación entre n valores de dos variables x e y (r = 0), demuestra que las dos rectas de regresión son perpendiculares.

Solución:

Recta de regresión de Y sobre X:

y = M_y + m·(x – M_x)

Recta de regresión de X sobre Y:

x = M_x + m’·(y – M_y)

El coeficiente de correlación, r = σ_xy/σ_x·σ_y, se puede poner en función de las pendientes de regresión:

m = σ_xy/σ_x²             m’ = σ_xy/σ_y²

m·m’ = (σ_xy/σ_x²)·(σ_xy/σ_y²) = [(σ_xy)²]/σ_x²·σ_y² = (σ_xy/σ_x·σ_y)² = r²

Como, en este caso, r = 0, puede suceder que m = 0, o bien, m’ = 0.

En el primer caso:

y = M_y + 0·(x – M_x) → y = M_y

x = M_x + m’·(M_y – M_y) = M_x + m’·(0) → x = M_x

Ambas rectas son perpendiculares.

En el segundo caso:

x = M_x + 0·(y – M_y) → x = M_x

y = M_y + m·(0) → y = M_y

Y las dos rectas también son perpendiculares.

Nota: M_x y M_y son las medias de X y de Y, respectivamente.