Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 02

    Posted on diciembre 6th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Dados:

    a)  Los siguientes estudios realizados en la misma clase:

    Nº horas que dedican al deporte al mes

    [0, 10)

    [10, 20)

    [20, 30)

    [30, 40)

    Nº de alumnos

    2

    6

    8

    4

     
    b)  El número de libros que leen los alumnos de una clase:

    0, 0, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1

    Realiza sus tablas de frecuencias, calcula las medidas de centralización y de dispersión y realiza con una de ellas un diagrama de barras y con la otra un diagrama de sectores.

     

     

    Solución:

    Media :

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Pero si se quiere calcular con mayor exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Medidas de dispersión:

    Desviación media:

    D.M. = Σ|xi – M|/Σfi

    Varianza:

    σ2 = (Σfi·xi2/Σfi) – M2

    Desviación típica:

    a)     

    Intervalo

     xi

     fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    0 – 10

    5

    2

    2

    10

    50

    17

    10 – 20

    15

    6

    8

    90

    1350

    7

    20 – 30

    25

    8

    16

    200

    5000

    3

    30 – 40

    35

    4

    20

    140

    4900

    13

     

     

    20

     

    440

    11300

    40

     

    Medidas de centralización.

    Media:

    M = 440/20 = 22

    Mediana:

    Fi ≥ 20/2 = 10 → 16 ≥ 10 → 20 – 30

    Clase mediana o intervalo mediana: 20 – 30

    Me = 20 + (30 – 20)·[(10 – 8)/8] = 22,5

    Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 20 – 30

    M0 = 20 + 10·{(8 – 6)/[(8 – 6) + (8 – 4)]}

    M0 = 20 + (20/6) = 140/6 = 23,3

    Medidas de dispersión:

    Desviación media:

    D. M. = 40/20 = 2

    Varianza:

    σ2 = (11300/20) – 222 = 81

    Desviación típica:

    Amplitud de los sectores:

    [0, 10) = (360/20)·2 = 36º

    [10, 20) = (360/20)·6 = 108º

    [20, 30) = (360/20)·8 = 144º

    [30, 40) = (360/20)·4 = 72º

    Diagrama de sectores de la frecuencia absoluta.

    b)     

     xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    0

    7

    7

    0

    0

    1

    1

    8

    15

    8

    8

    0

    2

    3

    18

    6

    12

    1

    3

    2

    20

    6

    18

    2

     

    20

     

    20

    38

    4

     

    Medidas de centralización:  

    Media:

    M = 20/20 = 1

    Mediana:

    Fi ≥ 20/2 = 10 → 15 ≥ 10 → xi = 1

    Me = 15

    Moda:

    M0 = 1

    Medidas de dispersión.

    Desviación media:

    D. M. = 4/20 = 0,2

    Varianza:

    σ2 = (38/20) – 12 = 0,9

    Desviación típica:

    Diagrama de barras de la frecuencia absoluta:

     

     

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