Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Medidas de centralización de una variable continua 03

    Posted on noviembre 29th, 2018 ManuelMiralles No comments

    Dada la siguiente distribución:

    Intervalos

    fi

    0 – 2

     4

    2 – 4

     6

    4 – 5

     4

    5 – 7

     12

    7 – 10

     9

     

    Calcular:

    a)  Media

    b)  Medina

    c)  Cuartiles

    d)  Moda

     

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Ahora bien, si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Pero, si los intervalos no tienen la misma amplitud, como sucede en este problema, debemos utilizas la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(ki – ki, anterior)/[(ki – ki, anterior) + (ki – ki, posterior]}

    Siendo:

    ki = frecuencia/amplitud

    Por lo tanto, en este problema tenemos que:

    k1 = 4/(2 – 0) = 2; k2 = 6/(4 – 2) = 3; k3 = 4/(5 – 4) = 4

    k4 = 12/(7 – 5) = 6; k5 = 9/(10 – 7) = 3

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.

    Marcas de clase:

    x1 = (0 + 2)/2 = 1; x2 = (2 + 4)/2 = 3; x3 = (4 + 5)/2 = 4,5

    x4 = (5 + 7)/2 = 6; x5 = (7 + 10)/2 = 8,5

    Intervalos

    xi

    fi

    Fi

    ki

    xi·fi

    0 – 2

    1

    4

    4

    2

    4

    2 – 4

    3

    6

    10

    3

    18

    4 – 5

    4,5

    4

    14

    4

    18

    5 – 7

    6

    12

    26

    6

    72

    7 – 10

    8,5

    9

    35

    3

    76,5

     

     

    35

     

     

    188,5

     

    a)  Media aritmética:

    M = Σxi·fi/Σfi = 188,5/35 = 5,39

    b)  Mediana:

    Clase mediana o intervalo mediana.

    Fi ≥ Σfi/2 = 35/2 = 17,5 → 26 ≥ 17,5 → 5 – 7

    Me = 5 + (7 – 5)·{[(35/2) – 14]/12}

     Me = 5 + 2·[(17,5 – 14)/12] = 5 + 2·(3,5/12) = 5 + (7/12) = 67/12

    Me = 5,58

    También se puede hacer gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Me – 5)/(17,5 – 14) = (7 – 5)/(26 – 14)

    (Me – 5)/3,5 = 2/12

    Me – 5 = 7/12 → Me = 5 + (7/12) = 67/12

    Me = 5,58

    c)    Primer cuartil (Q1):

    El problema consiste en encontrar el valor del eje X al que le corresponde Σfi/4 datos. El razonamiento es análogo al utilizado en el apartado anterior para el cálculo de la mediana tomando Σfi/4 en vez de Σfi/2.

    Fi ≥ Σfi/4 = 35/4 = 8,75 → 10 ≥ 8,75 → 2 – 4 

    Q1 = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/4) – Fi (anterior)]/fi}

    Q1 = 2 + (4 – 2)·[(8,75 – 4)/6] = 2 + (9,5/6) = 21,5/6 = 3,58

    Gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Q1 – 2)/(8,75 – 4) = (4 – 2)/(10 – 4)

    (Q1 – 2)/4,75 = 2/6 → Q1 – 2 = 9,5/6

    Q1 = 2 + (9,5/6) → Q1 = 21,5/6 = 3,58

    Tercer cuartil (Q3):

    Este caso es como el anterior pero se toma 3·Σfi/4 en vez de Σfi/4.

    Fi ≥ 3·Σfi/4 = 3·35/4 = 26,25 → 35 ≥ 26,25 → 7 – 10  

    Q3 = Cota (inferior) + Amplitud·{[(3·Σfi/4) – Fi (anterior)]/fi}

    Q3 = 7 + (10 – 7)·[(26,25 – 26)/9] = 7 + (0,75/9) = 7,083

    Gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Q3 – 7)/(26,25 – 26) = (10 – 7)/(35 – 26)

    (Q3 – 7)/0,25 = 3/9 → Q3 – 7 = 0,25/3

    Q3 = 7 + (0,25/3) → Q3 = 7,083

    (Nota: Q2 = Me y Q4 = Extremo superior del último intervalo, es decir, 10)

    d)  Moda

    El intervalo modal o clase modal será aquél cuya altura (ki) sea la mayor, es decir:

    5 – 7

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(ki – ki, anterior)/[(ki – ki, anterior) + (ki – ki, posterior)]}

    Mo = 5 + (7 – 5)· {(6 – 4)/[(6 – 4) + (6 – 3)]}

    Mo = 5 + (4/5) = 29/5 = 5,8

    Gráficamente:

    x/(6 – 4) = y/(6 – 3)

    (M0 – 5)/2 = (7 – M0)/3

    3 M0 – 15 = 14 – 2 M0

    5 M0 = 29 → M0 = 29/5

    M0 = 5,8

     

     

    Leave a Reply