Medidas de centralización de una variable continua 03

Dada la siguiente distribución:

Calcular:

a)  Media

b)  Medina

c)  Cuartiles

d)  Moda

Solución:

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Mediana:

Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

F_i ≥ Σf_i/2

Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

Ahora bien, si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

Pero, si los intervalos no tienen la misma amplitud, como sucede en este problema, debemos utilizas la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(k_i – k_{i, anterior})/[(k_i – k_{i, anterior}) + (k_i – k_{i, posterior}]}

Siendo:

k_i = frecuencia/amplitud

Por lo tanto, en este problema tenemos que:

k₁ = 4/(2 – 0) = 2; k₂ = 6/(4 – 2) = 3; k₃ = 4/(5 – 4) = 4

k₄ = 12/(7 – 5) = 6; k₅ = 9/(10 – 7) = 3

Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.

Marcas de clase:

x₁ = (0 + 2)/2 = 1; x₂ = (2 + 4)/2 = 3; x₃ = (4 + 5)/2 = 4,5

x₄ = (5 + 7)/2 = 6; x₅ = (7 + 10)/2 = 8,5

a)  Media aritmética:

M = Σx_i·f_i/Σf_i = 188,5/35 = 5,39

b)  Mediana:

Clase mediana o intervalo mediana.

F_i ≥ Σf_i/2 = 35/2 = 17,5 → 26 ≥ 17,5 → 5 – 7

M_e = 5 + (7 – 5)·{[(35/2) – 14]/12}

 M_e = 5 + 2·[(17,5 – 14)/12] = 5 + 2·(3,5/12) = 5 + (7/12) = 67/12

M_e = 5,58

También se puede hacer gráficamente:

Aplicando el teorema de Thales:

(M_e – 5)/(17,5 – 14) = (7 – 5)/(26 – 14)

(M_e – 5)/3,5 = 2/12

M_e – 5 = 7/12 → M_e = 5 + (7/12) = 67/12

M_e = 5,58

c)    Primer cuartil (Q₁):

El problema consiste en encontrar el valor del eje X al que le corresponde Σf_i/4 datos. El razonamiento es análogo al utilizado en el apartado anterior para el cálculo de la mediana tomando Σf_i/4 en vez de Σf_i/2.

F_i ≥ Σf_i/4 = 35/4 = 8,75 → 10 ≥ 8,75 → 2 – 4 

Q₁ = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/4) – F_i (anterior)]/f_i}

Q₁ = 2 + (4 – 2)·[(8,75 – 4)/6] = 2 + (9,5/6) = 21,5/6 = 3,58

Gráficamente:

Aplicando el teorema de Thales:

(Q₁ – 2)/(8,75 – 4) = (4 – 2)/(10 – 4)

(Q₁ – 2)/4,75 = 2/6 → Q₁ – 2 = 9,5/6

Q₁ = 2 + (9,5/6) → Q₁ = 21,5/6 = 3,58

Tercer cuartil (Q₃):

Este caso es como el anterior pero se toma 3·Σf_i/4 en vez de Σf_i/4.

F_i ≥ 3·Σf_i/4 = 3·35/4 = 26,25 → 35 ≥ 26,25 → 7 – 10  

Q₃ = Cota (inferior) + Amplitud·{[(3·Σf_i/4) – F_i (anterior)]/f_i}

Q₃ = 7 + (10 – 7)·[(26,25 – 26)/9] = 7 + (0,75/9) = 7,083

Gráficamente:

Aplicando el teorema de Thales:

(Q₃ – 7)/(26,25 – 26) = (10 – 7)/(35 – 26)

(Q₃ – 7)/0,25 = 3/9 → Q₃ – 7 = 0,25/3

Q₃ = 7 + (0,25/3) → Q₃ = 7,083

(Nota: Q₂ = M_e y Q₄ = Extremo superior del último intervalo, es decir, 10)

d)  Moda

El intervalo modal o clase modal será aquél cuya altura (k_i) sea la mayor, es decir:

5 – 7

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(k_i – k_{i, anterior})/[(k_i – k_{i, anterior}) + (k_i – k_{i, posterior})]}

M_o = 5 + (7 – 5)· {(6 – 4)/[(6 – 4) + (6 – 3)]}

M_o = 5 + (4/5) = 29/5 = 5,8

Gráficamente:

x/(6 – 4) = y/(6 – 3)

(M₀ – 5)/2 = (7 – M₀)/3

3 M₀ – 15 = 14 – 2 M₀

5 M₀ = 29 → M₀ = 29/5

M₀ = 5,8