Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de centralización de una variable continua 02

    Posted on noviembre 26th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    En la biblioteca de un centro se han tomado 100 libros y se ha contado el número de obras reseñadas en la bibliografía de cada uno de ellos, resultando la siguiente tabla:

     

    Calcular:

    a)  Media

    b)  Mediana

    c)  Moda

     

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.

    Intervalos 

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    0 – 10

    5

    8

    8

    40

    20 – 30

    15

    12

    20

    180

    20 – 30

    25

    10

    30

    250

    30 – 40

    35

    14

    44

    490

    40 – 50

    45

    21

    65

    945

    50 – 60

    55

    16

    81

    880

    60 – 70

    65

    10

    91

    650

    70 – 80

    75

    5

    96

    375

    80 – 90

    85

    3

    99

    255

    90 – 100

    95

    1

    100

    95

     

     

    100

     

    4160

     

    a)  Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 4160/100 = 41,6

    b)  Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Fi ≥ Σfi/2 = 100/2 = 50 → 65 ≥ 50 → 40 – 50

    Clase mediana o intervalo mediana: 40 – 50

    La mediana está en el intervalo [40 – 50) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:

    Me = 45

    Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Me = 40 + (50 – 40)·[(50 – 44)/21]

    Me = 40 + (60/21) = 900/21 = 42,86

    También se puede obtener gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Me – 40)/(50 – 44) = (50 – 40)/(65 – 44)

    (Me – 40)/6 = 10/21 → Me – 40 = 60/21 

    Me = 40 + (60/21) = (60 + 840)/21 

    Me = 900/21 = 42,86 

    c)  Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 40 – 50.

    Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    M0 = 40 + (50 – 40)·{(21 – 14)/[(21 – 14) + (21 – 16)]}

    M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83

    También se puede obtener gráficamente:

    x/(21 – 14) = y/(21 – 16) → x/7 = [(50 – 40) – x]/5

    x/7 = (10 – x)/5 → 5 x = 70 – 7 x

    12 x = 70 → x = 70/12

    M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83

     

     

     

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