Medidas de centralización de una variable continua 02

En la biblioteca de un centro se han tomado 100 libros y se ha contado el número de obras reseñadas en la bibliografía de cada uno de ellos, resultando la siguiente tabla:

Calcular:

a)  Media

b)  Mediana

c)  Moda

Solución:

Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i

Mediana:

Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

F_i ≥ Σf_i/2

Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.

a)  Media:

M = Σx_i·f_i/Σf_i = 4160/100 = 41,6

b)  Mediana:

Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

F_i ≥ Σf_i/2 = 100/2 = 50 → 65 ≥ 50 → 40 – 50

Clase mediana o intervalo mediana: 40 – 50

La mediana está en el intervalo [40 – 50) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:

M_e = 45

Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:

M_e = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σf_i/2) – F_i (anterior)]/f_i}

M_e = 40 + (50 – 40)·[(50 – 44)/21]

M_e = 40 + (60/21) = 900/21 = 42,86

También se puede obtener gráficamente:

Aplicando el teorema de Thales:

(M_e – 40)/(50 – 44) = (50 – 40)/(65 – 44)

(M_e – 40)/6 = 10/21 → M_e – 40 = 60/21 

M_e = 40 + (60/21) = (60 + 840)/21 

M_e = 900/21 = 42,86 

c)  Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

El intervalo modal o clase modal es 40 – 50.

Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

M_o = Cota_inferior + Amplitud·{(f_i – f_{i, anterior})/[(f_i – f_{i, anterior}) + (f_i – f_{i, posterior})]}

M₀ = 40 + (50 – 40)·{(21 – 14)/[(21 – 14) + (21 – 16)]}

M₀ = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83

También se puede obtener gráficamente:

x/(21 – 14) = y/(21 – 16) → x/7 = [(50 – 40) – x]/5

x/7 = (10 – x)/5 → 5 x = 70 – 7 x

12 x = 70 → x = 70/12

M₀ = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83