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Medidas de centralización de una variable continua 02
Posted on noviembre 26th, 2018 No commentsEn la biblioteca de un centro se han tomado 100 libros y se ha contado el número de obras reseñadas en la bibliografía de cada uno de ellos, resultando la siguiente tabla:
Calcular:
a) Media
b) Mediana
c) Moda
Solución:
Media:
M = Σxi·fi/Σfi
Mediana:
Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:
Fi ≥ Σfi/2
Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.
Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.
Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.
En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.
Intervalos
xi
fi
Fi
xi·fi
0 – 10
5
8
8
40
20 – 30
15
12
20
180
20 – 30
25
10
30
250
30 – 40
35
14
44
490
40 – 50
45
21
65
945
50 – 60
55
16
81
880
60 – 70
65
10
91
650
70 – 80
75
5
96
375
80 – 90
85
3
99
255
90 – 100
95
1
100
95
100
4160
a) Media:
M = Σxi·fi/Σfi = 4160/100 = 41,6
b) Mediana:
Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:
Fi ≥ Σfi/2 = 100/2 = 50 → 65 ≥ 50 → 40 – 50
Clase mediana o intervalo mediana: 40 – 50
La mediana está en el intervalo [40 – 50) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:
Me = 45
Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:
Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}
Me = 40 + (50 – 40)·[(50 – 44)/21]
Me = 40 + (60/21) = 900/21 = 42,86
También se puede obtener gráficamente:
Aplicando el teorema de Thales:
(Me – 40)/(50 – 44) = (50 – 40)/(65 – 44)
(Me – 40)/6 = 10/21 → Me – 40 = 60/21
Me = 40 + (60/21) = (60 + 840)/21
Me = 900/21 = 42,86
c) Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.
El intervalo modal o clase modal es 40 – 50.
Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:
Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}
M0 = 40 + (50 – 40)·{(21 – 14)/[(21 – 14) + (21 – 16)]}
M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83
También se puede obtener gráficamente:
x/(21 – 14) = y/(21 – 16) → x/7 = [(50 – 40) – x]/5
x/7 = (10 – x)/5 → 5 x = 70 – 7 x
12 x = 70 → x = 70/12
M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83
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