Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de centralización de una variable continua 01

    Posted on noviembre 22nd, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Dada la siguiente distribución:

    Intervalos

    fi

    0 – 4

    5

    4 – 8

    6

    8 – 12

    8

    12 – 16

    12

    16 – 20

    10

    20 – 24

    9

     
    Calcular:

    a)  Media

    b)  Medina

    c)  Moda

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.

    Marcas de clase:

    x1 = (0 + 4)/2 = 2; x2 = (4 + 8)/2 = 6; x3 = (8 + 12)/2 = 10

    x4 = (12 + 16)/2 = 14; x5 = (16 + 20)/2 = 18; x5 = (20 + 24)/2 = 22  

       Intervalos   

         xi     

         fi     

       Fi     

         xi·fi     

    0 – 4

    2

    5

    5

    10

    4 – 8

    6

    6

    11

    36

    8 – 12

    10

    8

    19

    80

    12 – 16

    14

    12

    31

    168

    16 – 20

    18

    10

    41

    180

    20 – 24

    22

    9

    50

    198

     

     

    50

     

    672

     

    a)  Media aritmética:

    M = Σxi·fi/Σfi = 672/50 = 13,44

    b)  Mediana:

    Hay que buscar el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Fi ≥ Σfi/2 = 50/2 = 25 → 31 ≥ 25 → 12 – 16

    Clase mediana o intervalo mediana: 12 – 16

    La mediana está en el intervalo [12 – 16) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:

    Me = 14

    Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Me = 12 + (16 – 12)·[(25 – 19)/50]

    Me = 12 + (24/50) = 12,48

    c)  Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 12 – 16.

    Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    M0 = 12 + (16 – 12)·{(11 – 8)/[(11 – 8) + (11 – 10)]}

    M0 = 12 + 4· [3/(3 + 1)] = 15

     

     

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