Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Progresiones geométricas. Problemas 01

    Posted on octubre 6th, 2009 Miralles No comments

     

    En un cuadrado de 2 metros de lado se inscribe otro uniendo los puntos medios de los lados consecutivos; en éste se inscribe otro de igual forma y así indefinidamente. ¿Cuánto vale el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así obtenidos?

     
     
    Solución:
     
     
    Lado del primer cuadrado: L1 = 2 m.
     
    Lado del segundo cuadrado (por el teorema de Pitágoras):
     
     
    Lado del tercer cuadrado (volviendo a aplicar el teorema de Pitágoras): 
     

     

    Siguiendo el proceso podríamos continuar indefinidamente. 

    Ahora podemos ver como varían las áreas de los cuadrados, teniendo en cuenta que el área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado.
     
     
    y así sucesivamente.
     
    Podemos observar que el valor de las áreas son los términos de una progresión geométrica de razón ½ (cada término es la mitad que el anterior), luego estamos en el caso de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con |r | < 1.
     
     
     

     

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