Parámetros de una variable aleatoria continua 10

Dada la función:

a)  Comprueba que f es una función de densidad para cualesquiera a, b ∊ ℜ, a < b.

b)  Halla la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria continua X correspondiente.

c)  Para el caso a = 2 y b = 5, halla su función de distribución F y calcula: P[3≤X≤4], P[X>6], P[X≤3,5], utilizando f y F.

Solución:

a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

Como a < b, entonces:

b – a > 0 → 1/(b – a) > 0

luego:

f(x) ≥ 0

luego f es una función de densidad.

b)  Esperanza:

Varianza:

Desviación típica:

c)  Para el caso a = 2 y b = 5, la función de densidad es:

y su función de distribución será:

Utilizando f(x):

Utilizando F(x):

P[3≤X≤4] = P[X≤4] – P[X≤3] = F(4) – F(3) =

= [(4 – 2)/3] – [(3 – 2)/3] = (2/3) – (1/3) = 1/3

P[X>6] = 1 – P[X≤6] = 1 – F(6) = 1 – 1 = 0

P[X≤3,5] = F(3,5) = (3,5 – 2)/3 = 1,5/3 = 0,5