Parámetros de una variable aleatoria continua 07

Considera la función:

a)  Demuestra que f es la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

b)  Halla la función de distribución F

c)  Calcula las probabilidades siguientes a partir de f y de F:

P [X=0], P [X≥–1], P [0≤X≤1], P [–1≤X≤0,5]

d)  Halla la esperanza, la varianza y la desviación típica de X

Solución:

a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

Es evidente que f(x)≥0, para todo x, ya que f únicamente toma los valores 0,5 y 0.

También se puede resolver teniendo en cuenta que el área del recinto (A) formado por la gráfica de la función f(x) y el eje X ha de ser igual a uno.

Gráfica de la función:

Por tanto f es una función de densidad.

b)  Función de distribución:

Si x<–1:

Si –1≤x≤1:

Si x>1:

c)      

P[X=0] = 0, ya que la probabilidad en un punto siempre es cero.

Utilizando f:

Utilizando F:

P [X≥–1] = 1 – P [X<–1] = 1 – F(–1)  = 1 – 0 = 1

P [0≤X≤1] = F(1) – F(0) = [0,5·(1 + 1) – 0,5·(0 + 1)] = 1 – 0,5 = 0,5

P [–1≤X≤0,5] = F(0,5) – F(–1) = 0,5·(0,5 + 1) – 0,5·(–1 + 1) = 0,75 

d)       

Esperanza (μ):

Varianza (σ²):

Desviación típica (σ):