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Parámetros de una variable aleatoria continua 07
Posted on mayo 14th, 2018 No commentsConsidera la función:
a) Demuestra que f es la función de densidad de una variable aleatoria continua X.
b) Halla la función de distribución F
c) Calcula las probabilidades siguientes a partir de f y de F:
P [X=0], P [X≥–1], P [0≤X≤1], P [–1≤X≤0,5]
d) Halla la esperanza, la varianza y la desviación típica de X
Solución:
a) Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:
Es evidente que f(x)≥0, para todo x, ya que f únicamente toma los valores 0,5 y 0.
También se puede resolver teniendo en cuenta que el área del recinto (A) formado por la gráfica de la función f(x) y el eje X ha de ser igual a uno.
Gráfica de la función:
Por tanto f es una función de densidad.
b) Función de distribución:
Si x<–1:
Si –1≤x≤1:
Si x>1:
c)
P[X=0] = 0, ya que la probabilidad en un punto siempre es cero.
Utilizando f:
Utilizando F:
P [X≥–1] = 1 – P [X<–1] = 1 – F(–1) = 1 – 0 = 1
P [0≤X≤1] = F(1) – F(0) = [0,5·(1 + 1) – 0,5·(0 + 1)] = 1 – 0,5 = 0,5
P [–1≤X≤0,5] = F(0,5) – F(–1) = 0,5·(0,5 + 1) – 0,5·(–1 + 1) = 0,75
d)
Esperanza (μ):
Varianza (σ2):
Desviación típica (σ):
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