Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Parámetros de una variable aleatoria continua 07

    Posted on mayo 14th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Considera la función:

    a)  Demuestra que f es la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

    b)  Halla la función de distribución F

    c)  Calcula las probabilidades siguientes a partir de f y de F:

    P [X=0], P [X≥–1], P [0≤X≤1], P [–1≤X≤0,5]

    d)  Halla la esperanza, la varianza y la desviación típica de X

     

     

    Solución:

    a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

    Es evidente que f(x)≥0, para todo x, ya que f únicamente toma los valores 0,5 y 0.

    También se puede resolver teniendo en cuenta que el área del recinto (A) formado por la gráfica de la función f(x) y el eje X ha de ser igual a uno.

    Gráfica de la función:

    Por tanto f es una función de densidad.

    b)  Función de distribución:

    Si x<–1:

    Si –1≤x≤1:

    Si x>1:

    c)      

    P[X=0] = 0, ya que la probabilidad en un punto siempre es cero.

    Utilizando f:

    Utilizando F:

    P [X≥–1] = 1 – P [X<–1] = 1 – F(–1)  = 1 – 0 = 1

    P [0≤X≤1] = F(1) – F(0) = [0,5·(1 + 1) – 0,5·(0 + 1)] = 1 – 0,5 = 0,5

    P [–1≤X≤0,5] = F(0,5) – F(–1) = 0,5·(0,5 + 1) – 0,5·(–1 + 1) = 0,75 

    d)       

    Esperanza (μ):

     

    Varianza (σ2):

    Desviación típica (σ):

     

     

     

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