Función de distribución de una variable aleatoria continua 03

Sea la siguiente función:

a)  Comprueba que f es una función de densidad.

b)  Halla la función de distribución F de la variable aleatoria X cuya función de densidad es f y represéntala gráficamente.

c)  Calcula a partir de f y de F:

P[X≤0,5]

P[X≥0,75]

P[–0,5≤X≤0,5]

P[0,2≤X≤0,8]

Solución:

a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

Es evidente que f(x)≥0, para todo x, ya que:

Si x∈[0, 1]:

f(x) = 3x²≥0

Si x∉[0, 1]:

f(x) = 0

Por tanto f es una función de densidad.

b)  Función de distribución (F) y su gráfica:

Si x<0:

Si 0≤x≤1:

Si x>1:

c)  Utilizando f:

Utilizando F:

P[X≤0,5] = P[X<0] + P[0≤X≤0,5] = 0 + F(0,5) – F(0) = 0,5³ – 0 = 0,125

P[X≥0,75] = 1 – P[X≤0,75] = 1 – F(0,75) = 1 – 0,75³ = 0,578125

P[–0,5≤X≤0,5] = F(0,5) – F(–0,5) = 0,5³ – 0 = 0,125

P[0,2≤X≤0,8] = F(0,8) – F(0,2) = 0,8³ – 0,2³ = 0,504