Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial 01

    Posted on enero 18th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Tenemos una moneda defectuosa tal que, al lanzarla, se obtiene cara en un 25 % de los casos. Lanzamos tres veces y anotamos el número de caras obtenidas.

    a)  Comprueba que la variable aleatoria X que indica el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos es de tipo binomial, y halla su función de probabilidad.

    b)  Halla la media, la varianza y la desviación típica.

    c)  Calcula la probabilidad de obtener 0, 1, 2 y 3 caras.

    d)  Halla la probabilidad de obtener a lo sumo una cara.

    e)  Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara.

     

     

    Solución:

    a)  Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución binomial o de Bernouilli si se verifica que:

      En cada realización del experimento únicamente son posibles dos sucesos A y A’.

    2º El resultado obtenido en cada realización es independiente de los obtenidos anteriormente.

    3º La probabilidad del resultado A, y por tanto la de A’, no varía a lo largo del experimento.

    4º Si llamamos p a la probabilidad de que se verifique el resultado A y q a la de que se verifique el resultado A’, p + q =1.

    Por tanto:

    La variable aleatoria que indica el número de caras obtenidas es una distribución binomial de tres pruebas (se realizan tres lanzamientos), dado que:

    En cada lanzamiento son posibles solamente dos sucesos: A = (Cara) y A’ = (Cruz)

    El resultado de un lanzamiento es independiente de los resultados anteriores.

    La probabilidad de que salga cara, P(A) = 0,25 y la que salga cruz P(A’) = 0,75; luego:

    0,25 + 0,75 = 1

    Función de probabilidad:

    b)  Media (μ):

    μ = n·p = 3·0,25 = 0,75

    Varianza (σ2):

    σ2 = n·p·q = 3·0,25·0,75 = 0,5625

    Desviación típica (σ):

    c)  Función de probabilidad de la distribución binomial:

    Asiendo n el número de pruebas, k el número de éxitos,robabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso.

     

    d)  {Obtener a lo sumo una cara} = {Obtener como máximo una  cara}

    P[X≤1] = P[X=0] + P[X=1] = 0,4219 + 0,4219 = 0,8438

    e)  {Obtener al menos una cara} = {Obtener como mínimo una  cara}.

    P[X≥1] = 1 – P[X=0] = 1 – 0,4219 = 0,5781

     

     

     

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