Sucesos dependientes y sucesos independientes 06

Sean los sucesos A = {una determinada persona A resuelve un determinado problema}  y B = {lo resuelve B}. Se sabe que la probabilidad de que lo resuelvan las dos personas es de 1/6; y, la de que no lo resuelva ninguna de las dos es de 1/3. Sabiendo que la probabilidad de que lo solucione una persona es independiente de que lo resuelva la otra, calcula P(A) y P(B).

Solución:

Datos: P(A∩B) = 1/6; P(A’∩B’) = 1/3

Si P(A) = x, P(B) = y, y como ambos sucesos son independientes, tenemos que:

P(A∩B) = P(A)·P(B)

luego:

 x·y = 1/6

Por otra parte se tiene que:

P(A’∩B’) =  P (AUB)’ = 1 – P(AUB) = 1/3

P(AUB) = 1 – (1/3) = 2/3

Pero:

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = x + y – (1/6)

x + y – (1/6) = 2/3 → x + y = (2/3) + (1/6)

x + y = 5/6

Por tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

x·y = 1/6

x + y = 5/6

x = (5/6) – y → [(5/6) – y]·y = 1/6

 (5y/6) – y² = 1/6 → 5y – 6y² = 1

6y² – 5y + 1 = 0

Primera solución:

y = 1/2 → x = (5/6) – (1/2) = 1/3

P(A) = 1/3, P(B) = 1/2

Segunda solución:

y = 1/3 → x = (5/6) – (1/3) = 1/2

P(A) = 1/2, P(B) = 1/3