Propiedades de la probabilidad 19

Si M y N son dos sucesos cualesquiera de probabilidad no nula e independiente, razona si son ciertas las siguientes afirmaciones:

a)  P(M’/N’) = P(M)

b)  P(MUM’) = 0,5

Solución:

Como M y N son sucesos independientes tenemos que:

P(M∩N) = P(M)·P(N)

a)  Fórmula de la probabilidad condicionada:  

P(M’/N’) = P(M’∩N’)/P(N’)

Según las leyes de Morgan, tenemos que:

P(M’∩N’) = P(MUN)’

P(M’∩N’) = 1 – P(MUN)

Sustituyendo en la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(M’/N’) = [1 – P(MUN)]/P(N’)

Probabilidad de la unión de dos sucesos:

P(MUN) = P(M) + P(N) – P(M∩N)

P(M’/N’) = {1 – [P(M) + P(N) – P(M∩N)]}/P(N’)

P(M’/N’) = [1 – P(M) – P(N) + P(M∩N)]/P(N’)

Como M y N son independientes:

P(M’/N’) = [1 – P(M) – P(N) + P(M)·P(N)]/P(N’)

P(M’/N’) = {[1 – P(N)] – P(M) + P(M)·P(N)}/P(N’)

P(M’/N’) = [P(N’) – P(M) + P(M)·P(N)/P(N’)

P(M’/N’) = {P(N’) – P(M)·[1 – P(N)]}/P(N’)

P(M’/N’) = [P(N’) – P(M)·P(N’)]/P(N’)

P(M’/N’) = {P(N’)·[1 – P(M)]}/P(N’)

P(M’/N’) = 1 – P(M)

P(M) = 1 – P(M)

2·P(M) = 1

P(M) = 1/2 = 0,5

La afirmación es cierta si P(M) = 0,5. En caso contrario no.

b)  La unión de un suceso con su complementario es el espacio muestral, por tanto la probabilidad de la unión de ambos suceso es 1, luego la afirmación es falsa.

P(MUM’) = P(M) + P(M’) – P(M∩M’) = P(M) + 1 – P(M) + 0

P(MUM’) = 1 ≠ 0,5

Luego, como ya se ha dicho, la afirmación es falsa.