Propiedades de la probabilidad 18

Dados dos sucesos independientes M y N, la probabilidad de que ocurran los dos a la vez es 1/6 y que no ocurra ninguno de los dos es 1/3. Calcula P(M) y P(N).

Solución:

Datos: P(M∩N) = 1/6; P(M’∩N’) = 1/3

Como M y N son sucesos independientes tenemos que:

P(M∩N) = P(M)·P(N) = 1/6

Según las leyes de Morgan, tenemos que:

P(M’∩N’) = P(MUN)’

P(M’∩N’) = 1 – P(MUN)

1/3 = 1 – P(MUN)

P(MUN) = 1 – (1/3) = 2/3

De la probabilidad de la unión de dos sucesos, se tiene que:

P(MUN) = P(M) + P(N) – P(M∩N)

P(M) + P(N) = P(MUN) + P(M∩N)

P(M) + P(N) = (2/3) + (1/6) = 5/6

Si P(M) = x y P(N) = y, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

x·y = 1/6

x + y = 5/6

y = (5/6) – x → x·[(5/6) – x] = 1/6

(5/6) x – x² = 1/6

6x² – 5x + 1 = 0

Si P(M) = 1/2:

(1/2)·P(N) = 1/6 → P(N) = 2/6 = 1/3

Si P(M) = 1/3:

(1/3)·P(N) = 1/6 → P(N) = 3/6 = 1/2