Propiedades de la probabilidad 16

Sea M un suceso con 0 < P(M) < 1.

a)  ¿Puede ser M independiente de su contrario M’?

b)  Sea N otro suceso tal que N Ì M. ¿Serán M y N independientes?

c)  Sea Q un suceso independiente de M. ¿Serán M y Q’ independientes?

Justifica las respuestas.

Solución:

a)  Si los sucesos M y M’ son independientes se debe cumplir que:

P(M∩M’) = P(M)·P(M’)

P(M∩M’) = 0

P(M) + P(M’) = 1

P(M’) = 1 – P(M)

Si P(M) = m ≠ 0, entonces:

P(M’) = 1 – m

Luego:

P(M)·P(M’) = m·(1 – m) ≠ 0

Por tanto no son independientes.

b)  Si N Ì M entonces P(M∩N) = P(N) ya que la intersección de ambos conjuntos resultará el menor de ellos.

P(M)·P(N) = P(N) solo es cierto si P(M) = 0 (cosa que no sucede pues P(M) < 1), o P(N) = 0.

Por tanto, solo son independientes si P(N) = 0.

c)  Como M es independiente de Q entonces P(M)·P(Q) = P(M∩Q)

P(M∩Q’) = P(M) – P(M∩Q) = P(M) – P(M)·P(Q)

P(M∩Q’) = P(M)·[1 – P(Q)] = P(M)·P(Q’)

Luego M y Q’ son independientes.