Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Propiedades de los sucesos 01

    Posted on noviembre 10th, 2016 ManuelMiralles No comments

     

    Sea el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado y los sucesos: A = {1, 3}, B = {3, 4, 5} y C = {1, 2, 3, 4}. Comprueba:

    a)  La propiedad asociativa de la unión y de la intersección con los sucesos A, B y C.

    b)  La propiedad conmutativa de la unión y de la intersección con los sucesos A y B.

    c)  La propiedad idempotente de la unión y de la intersección con el suceso A.

    d)  Las propiedades simplificativas con los sucesos A y B.

     

     

    Solución:

    Espacio muestral:

    E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    a)  La propiedad asociativa de la unión se cumplirá si:

    A U (B U C) = (A U B) U C

    B U C = {1, 2, 3, 4, 5}

    A U (B U C) = {1, 2, 3, 4, 5}

    A U B = {1, 3, 4, 5}

    (A U B) U C = {1, 2, 3, 4, 5}

    Luego sí se cumple.

    La propiedad asociativa de la intersección se cumplirá si:

    A (B C) = (A B) C

    B C = {3, 4}

    A (B C) = {3}

    A B = {3}

    (A B) C = {3}

    Por lo tanto sí se cumple.

    b)  La propiedad conmutativa de la unión de A y B se cumplirá si:

    A U B = B U A

    A U B = {1, 3, 4, 5} = B U A

    Luego sí se cumple.

    La propiedad conmutativa de la intersección de A y B se cumplirá si:

    A B = B A

    A B = {3} = B A

    Por lo tanto sí se cumple.

    c)  La propiedad idempotente de la unión de A se cumplirá si:

    A U A = A

    A U A = {1, 3} = A

    Luego sí se cumple.

    La propiedad idempotente de la intersección de A se cumplirá si:

    A A = A

    A A = {1, 3} = A

    Por lo tanto sí se cumple.

    d)  Se debe cumplir que:

    Primera:

    (A U B) A = A

    Segunda:

    (A B) U A = A

    A U B = {1, 3, 4, 5} → (A U B) A = {1, 3} = A

    A B = {3} → (A B) U A = {1, 3} = A

     

     

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