Integración de funciones trigonométricas 06

Halla:

Solución:

El cambio que se debe hacer es: t = tg x, por tanto tenemos que poner el seno, el coseno y la diferencial de x en función de t.

Ecuación fundamental de la trigonometría:

sen² x + cos²x = 1

Dividiendo todos los términos por cos²x:

Dividiendo la ecuación fundamental por sen² x:

Ahora hay que resolver la integral de una función racional con raíces complejas.

1 = (Mt + N)·(1 + t²) + (Pt + Q)·(1 + 2t²)

Si t = 0:

N + Q = 1

Si t = 1:

2M + 2N + 3P + 3Q = 1

Si t = –1:

–2M + 2N – 3P + 3Q = 1

Si t = 2:

10M + 5N + 18P + 9Q = 1

Resolviendo por Gauss–Jordan:

Q = –1

N – 1 = 1 → N = 2

3P + 1 = 1 → P = 0

2M + 4 + 0 – 3 = 1 → M = 0