Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales y complejas simples 01

Calcula:

Solución:

Primero factorizaremos el denominador de la fracción teniendo en cuenta que x = 2 es una raíz.

1 = A·(x² + 2x +4) + (Mx + N)·(x – 2)

Si x = 2:

1 = 12A → A = 1/12

Si x = 0:

1 = 4A – 2N → 2N = 4·(1/12) – 1 → N = (2/3) – 1 = –1/3

Si x = 1:

1 = 7A – M – N → 1 = 7·(1/12) – M + (1/3)

M = (7/12) + (1/3) – 1 = (11/12) – 1

M = –1/12

Para resolver la última integral haremos lo siguiente:

x² + 2x + 4 = (x + p)² + q = x² + 2px + p² + q

2p = 2 → p = 1

p² + q = 4 → 1² + q = 4 → q = 3

Sustituyendo en la integral inicial: