Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales simples 03

    Posted on marzo 10th, 2016 ManuelMiralles No comments

     

    Calcula la siguiente integral:

    INTEGRAL RACIONAL RAICES SIMPLES 3,1

     

     

    Solución:

    Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados. Para ello primero factorizamos el denominador de la fracción.

    INTEGRAL RACIONAL RAICES SIMPLES 3,2

    x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 1)·(x + 1)·(x + 3)

    INTEGRAL RACIONAL RAICES SIMPLES 3,3

    Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales también deben serlo sus numeradores. Por tanto:

    3x2 + 12x + 1 = A·(x + 1)·(x + 3) + B·(x – 1)·(x + 3) + C·(x – 1)·(x + 1)

    Si x = 1:

    16 = 8A → A = 16/8 = 2

    Si x = –1:

    –8 =  – 4B → B = 8/4 = 2

    Si x = –3:

    –8  = 8C → C = –1

    Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:

    INTEGRAL RACIONAL RAICES SIMPLES 3,4

     

     


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