Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 14

    Posted on noviembre 5th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Demuestra que para todo x perteneciente a ]0, π[, cos x > 1 – x.

     

     

    Solución:

    Sea la función: f(x) = cos x + x – 1, continua y derivable en todo R.

    Tomemos el intervalo [0, x]. Según Lagrange existe un valor c perteneciente a ]0, x[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 12

    Derivada de f(x):

    f'(x) = –sen x + 1

    f’(c) = –sen c + 1

    –sen c + 1 = [(cos x + x – 1) – (cos 0 + 0 – 1)]/(x – 0)

     –sen c + 1 = [(cos x + x – 1) – (1 – 1)]/x

    –sen c + 1 = (cos x + x – 1)/x

    Como x pertenece a ]0, π[, 0 < sen x < 1, luego 0 < sen c < 1, ya que c < x, por tanto:

    –1 < –sen c < 0 → –1 + 1 < –sen c +1 < 0 + 1

    0 < –sen c +1 < 1 → 0 < (cos x + x – 1)/x < 1

    0 < (cos x + x – 1) → cos x > 1 – x

     

     

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