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Teorema de Lagrange 13
Posted on noviembre 2nd, 2015 No commentsa) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función:
b) Comprueba si se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].
Solución:
a) Como el valor absoluto incluye a +(x – 3) y –(x – 3), veamos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.
x – 3 = 0 → x = 3
x = 2 → f(2) = 2 – 3 < 0
x = 4 → f(4) = 4 – 3 > 0
La función se puede expresar de la siguiente forma :
La función dada es continua en todo R por ser el cociente de funciones continuas, excepto para x = 0 (se anula el denominador de la fracción) y x = 3 (la función cambia de expresión).
Estudiemos la función en estos puntos.
En x = 0 la función no está definida luego no es continua y, por tanto, no es derivable.
En x = 3:
En x = 3 la función es continua.
Derivabilidad:
La función dada no es derivable en x = 3, ya que f’(3–) ≠ f’(3+). (Se trata de un punto anguloso)
b) Teorema de Lagrange:
Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, existe un valor c perteneciente a ]a, b[tal que:
Por tanto como la función dada es continua en [1, 3] y derivable en ]1, 3[ se puede aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange en [1, 3].
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