Teorema de Lagrange 13

a)  Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función:

b)  Comprueba si se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

Solución:

a)  Como el valor absoluto incluye a +(x – 3) y –(x – 3), veamos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.

x – 3 = 0 → x = 3

x = 2 → f(2) = 2 – 3 < 0

x = 4 → f(4) = 4 – 3 > 0

La función se puede expresar de la siguiente forma :

La función dada es continua en todo R por ser el cociente de funciones continuas, excepto para x = 0 (se anula el denominador de la fracción) y x = 3 (la función cambia de expresión).  

Estudiemos la función en estos puntos.

En x = 0 la función no está definida luego no es continua y, por tanto, no es derivable.

En x = 3:

En x = 3 la función es continua.

Derivabilidad:

La función dada no es derivable en x = 3, ya que f’(3^–) ≠ f’(3⁺). (Se trata de un punto anguloso)

b)  Teorema de Lagrange:

Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, existe un valor c perteneciente a ]a, b[tal que:

Por tanto como la función dada es continua en [1, 3] y derivable en ]1, 3[ se puede aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange en [1, 3].