Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 13

    Posted on noviembre 2nd, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    a)  Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 13,1

    b)  Comprueba si se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

     

     

    Solución:

    a)  Como el valor absoluto incluye a +(x – 3) y –(x – 3), veamos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.

    x – 3 = 0 → x = 3

    x = 2 → f(2) = 2 – 3 < 0

    x = 4 → f(4) = 4 – 3 > 0

    TEOREMA DE LAGRANGE 13,2

    La función se puede expresar de la siguiente forma :

    TEOREMA DE LAGRANGE 13,3

    La función dada es continua en todo R por ser el cociente de funciones continuas, excepto para x = 0 (se anula el denominador de la fracción) y x = 3 (la función cambia de expresión).  

    Estudiemos la función en estos puntos.

    En x = 0 la función no está definida luego no es continua y, por tanto, no es derivable.

    En x = 3:

    TEOREMA DE LAGRANGE 13,4

    En x = 3 la función es continua.

    Derivabilidad:

    TEOREMA DE LAGRANGE 13,5

    La función dada no es derivable en x = 3, ya que f’(3) ≠ f’(3+). (Se trata de un punto anguloso)

    b)  Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, existe un valor c perteneciente a ]a, b[tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Por tanto como la función dada es continua en [1, 3] y derivable en ]1, 3[ se puede aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange en [1, 3].

     

     


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