Teorema de Lagrange 12

Demuestra que para todo x perteneciente a ]0, π/2[, sen x < x.

Solución:

Sea la función f(x) = sen x, continua y derivable en todo R.

Tomemos el intervalo [0, x]. Según Lagrange existe un valor c perteneciente a ]0, x[ tal que:

por tanto:

cos c = (sen x – sen 0)/(x – 0)

x·cos c = sen x

Como: 0 < c < π/2, entonces cos 0 > cos c > cos π/2, luego 1 > cos c > 0, por tanto x > x·cox c > 0

Luego:

sen x < x