Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 10

    Posted on octubre 22nd, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Prueba que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 10,1

     

     

    Solución:

    Sea la función f(x) = xn continua en [a, b] con a > 0 y derivable en ]a, b[, por tanto, según el Teorema de Lagrange, existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Derivada de f(x):

    f'(x) = nx–1

    Por tanto:

    f'(c) = nc–1

    TEOREMA DE LAGRANGE 10,3

    Como a < c < b entonces an – 1 < cn – 1 < bn – 1, luego:

    an – 1 (a – b) < cn – 1 (a – b) < bn – 1 (a – b)

    nan – 1 (a – b) < ncn – 1 (a – b) < nbn – 1 (a – b), ya que n > 1

    Sustituyendo el valor de ncn – 1 (a – b) por bn – an, tenemos que:

    nan – 1 (a – b) < bn – an < nbn – 1 (a – b)

    que es lo que se quería demostrar.

     

     

     

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