Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 09

    Posted on octubre 19th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Estudia si es aplicable el teorema del valor medio o Lagrange a la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,1

    en el intervalo [0, 1] y, en caso afirmativo, halla el valor de c al que se refiere el teorema.

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Continuidad:

    La función dada es continua en ]0, 1[ por tratarse de un producto de funciones continuas en dicho intervalo. Falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = 0, en donde la función cambia de expresión.

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,3

    f(0) = 0

    Como:

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,4

    la función es continua en x = 0.

    Derivabilidad:

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,5

    no es derivable en x = 0.

    Pero, para aplicar el teorema del valor medio no hace falta que sea derivable en x = 0, simplemente ha de serlo en ]0,1[.

    f'(x) = ln x + x·(1/x) = ln x + 1

    La derivada de f(x) existe para todo x perteneciente a ]0, 1[

    Luego se puede aplicar el teorema de Lagrange y, por tanto, existe un valor c perteneciente a ]0, 1[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,6

    [1·ln 1 – 0]/(1 – 0) = ln c + 1

    ln c + 1 = 0/1 ln c = –1

    c = e–1 = 1/e

     

     

     

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