Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 08

    Posted on octubre 15th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Dada la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,1

    ¿Existen m y n tales que  f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 2]? En caso afirmativo calcula el valor predicho por el teorema.

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Hipótesis:

    Continuidad:

    La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de –1 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = –1, en donde la función cambia de expresión.

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,3

    Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,4

    Por tanto:

    –m = (1 – n)/2 → –2m = 1 – n → n = 2m + 1

    Derivabilidad:

    Para estudiar la derivabilidad se puede hacer de tres formas distintas:

    1ª forma: (Aplicando la definición)

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,5

    Para que la función sea derivable en x = –1 se debe cumplir que f’(–1) = f’(–1+), por tanto:

    m = –1 → n = 2·(–1) + 1 = –2 + 1 = –1

    Luego, para que la función f(x) cumpla las hipótesis del teorema del valor medio (Lagrange) en el intervalo [–2, 0], m = –1 y n = –1.

    2ª forma:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,6

    m = –1 → n = –2 + 1 = –1

    3ª forma:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,8

    m = –1 y n = –1

    De todo lo anterior tenemos que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,8

    Luego sí existen m y n tales que  f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 2].

    Tesis:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,9

    Por tanto el valor predicho por el teorema de Lagrange es 1/8.

     

     


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