Teorema de Lagrange 08

Dada la función:

¿Existen m y n tales que  f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 2]? En caso afirmativo calcula el valor predicho por el teorema.

Solución:

Teorema de Lagrange:

Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

Hipótesis:

Continuidad:

La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de –1 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = –1, en donde la función cambia de expresión.

Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

Por tanto:

–m = (1 – n)/2 → –2m = 1 – n → n = 2m + 1

Derivabilidad:

Para estudiar la derivabilidad se puede hacer de tres formas distintas:

1ª forma: (Aplicando la definición)

Para que la función sea derivable en x = –1 se debe cumplir que f’(–1^–) = f’(–1⁺), por tanto:

m = –1 → n = 2·(–1) + 1 = –2 + 1 = –1

Luego, para que la función f(x) cumpla las hipótesis del teorema del valor medio (Lagrange) en el intervalo [–2, 0], m = –1 y n = –1.

2ª forma:

m = –1 → n = –2 + 1 = –1

3ª forma:

m = –1 y n = –1

De todo lo anterior tenemos que:

Luego sí existen m y n tales que  f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 2].

Tesis:

Por tanto el valor predicho por el teorema de Lagrange es 1/8.