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Teorema de Lagrange 08
Posted on octubre 15th, 2015 No commentsDada la función:
¿Existen m y n tales que f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 2]? En caso afirmativo calcula el valor predicho por el teorema.
Solución:
Teorema de Lagrange:
Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:
Hipótesis:
Continuidad:
La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de –1 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = –1, en donde la función cambia de expresión.
Para que la función sea continua se ha de cumplir que:
Por tanto:
–m = (1 – n)/2 → –2m = 1 – n → n = 2m + 1
Derivabilidad:
Para estudiar la derivabilidad se puede hacer de tres formas distintas:
1ª forma: (Aplicando la definición)
Para que la función sea derivable en x = –1 se debe cumplir que f’(–1–) = f’(–1+), por tanto:
m = –1 → n = 2·(–1) + 1 = –2 + 1 = –1
Luego, para que la función f(x) cumpla las hipótesis del teorema del valor medio (Lagrange) en el intervalo [–2, 0], m = –1 y n = –1.
2ª forma:
m = –1 → n = –2 + 1 = –1
3ª forma:
m = –1 y n = –1
De todo lo anterior tenemos que:
Luego sí existen m y n tales que f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 2].
Tesis:
Por tanto el valor predicho por el teorema de Lagrange es 1/8.
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