Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 07

    Posted on octubre 12th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Considera la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,1

    Halla m y n para que f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [–2, 0] y calcula los valores intermedios correspondientes.

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, existe un valor c perteneciente al intervalo ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Continuidad:

    El único valor de x en donde la función no está definida es 0, pero como este valor no pertenece a [–2, –1], no afecta a la función. Luego falta estudiar la continuidad en x = –1, en donde la función cambia de expresión.

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,3

    Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,4

    Por tanto:

    –2m – 1 = (1 – 2n)/2 → –4m – 2 = 1 – 2n

    2n = 4m + 2 + 1

    n = (4m + 3)/2

    Derivabilidad:

    Para estudiar la derivabilidad se puede hacer de tres formas distintas:

    1ª forma: (Aplicando la definición)

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,5

    Para que la función sea derivable en x = –1 se debe cumplir que f’(–1) = f’(–1+), por tanto:

    –2m – 1 = –1 → –2m = 0 → m = 0

    n = (4·0 + 3)/2 = 3/2

    Luego, para que la función f(x) cumpla las hipótesis del teorema del valor medio (Lagrange) en el intervalo [–2, 0], m = 0 y n = 3/2.

    2ª forma:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,6

    –2m – 1 = –1 → m = 0

    n = (4·0 + 3)/2 = 3/2

    3ª forma:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,7

    –2m – 1 = –1 → m = 0

    n = (4·0 + 3)/2 = 3/2

    De todo lo anterior tenemos que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,8

    Teorema del valor medio en [–2, –1]:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,9

    Como:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,10

    este valor no es el predicho por el teorema del valor medio. Por tanto:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,11

    ya que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,12

    Teorema del valor medio en [–1, 0]:

    TEOREMA DE LAGRANGE 07,13

    Como –1/2 pertenece al intervalo ]–1, 0[, este es el valor predicho por el teorema del valor medio.

     

     


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