Teorema de Lagrange 06

Halla un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva f(x) = x³ – x² + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

Solución:

Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B:

y – y₀ = m·(x – x₀)

siendo m la pendiente de la recta y (x₀, y₀) un punto de la misma.

Pendiente de la recta:

m = (20 – 2)/(3 – 1) = 9

Tomando, por ejemplo, el punto A, tenemos que:

y – 2 = 9·(x – 1)

y = 9x – 9 + 2 → y = 9x – 7

La función f(x) = x³ – x² + 2  es continua en [1, 3]  y derivable en ]1, 3[, por tanto, según el teorema de Lagrange:

[f(3) – f(1)]/(3 – 1) = f’(c)

Derivada de f(x):

f'(x) = 3x² – 2x

(20 – 2)/2 = 18/2 = 9 = 3c² – 2c

3c² – 2c – 9 = 0

Resolviendo:

De las dos soluciones la única que pertenece al intervalo ]1, 3[ es la positiva, luego ésta es la válida.

O bien:

Por ser aplicable el Teorema de Lagrange:

f'(c) = m → 3c² – 2c = 9, y se llega a la misma conclusión.

Por tanto el punto buscado es: