Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 06

    Posted on octubre 8th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Halla un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva f(x) = x3 – x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

     

     

    Solución:

    Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B:

    y – y0 = m·(x – x0)

    siendo m la pendiente de la recta y (x0, y0) un punto de la misma.

    Pendiente de la recta:

    m = (20 – 2)/(3 – 1) = 9

    Tomando, por ejemplo, el punto A, tenemos que:

    y – 2 = 9·(x – 1)

    y = 9x – 9 + 2 → y = 9x – 7

    La función f(x) = x3 – x2 + 2  es continua en [1, 3]  y derivable en ]1, 3[, por tanto, según el teorema de Lagrange:

    [f(3) – f(1)]/(3 – 1) = f’(c)

    Derivada de f(x):

    f'(x) = 3x2 – 2x

    (20 – 2)/2 = 18/2 = 9 = 3c2 – 2c

    3c2 – 2c – 9 = 0

    Resolviendo:

    TEOREMA DE LAGRANGE 06,1

    De las dos soluciones la única que pertenece al intervalo ]1, 3[ es la positiva, luego ésta es la válida.

    O bien:

    Por ser aplicable el Teorema de Lagrange:

    f'(c) = m → 3c2 – 2c = 9, y se llega a la misma conclusión.

    Por tanto el punto buscado es:

    TEOREMA DE LAGRANGE 06,2

     

     


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