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Teorema de Lagrange 06
Posted on octubre 8th, 2015 No commentsHalla un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva f(x) = x3 – x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?
Solución:
Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B:
y – y0 = m·(x – x0)
siendo m la pendiente de la recta y (x0, y0) un punto de la misma.
Pendiente de la recta:
m = (20 – 2)/(3 – 1) = 9
Tomando, por ejemplo, el punto A, tenemos que:
y – 2 = 9·(x – 1)
y = 9x – 9 + 2 → y = 9x – 7
La función f(x) = x3 – x2 + 2 es continua en [1, 3] y derivable en ]1, 3[, por tanto, según el teorema de Lagrange:
[f(3) – f(1)]/(3 – 1) = f’(c)
Derivada de f(x):
f'(x) = 3x2 – 2x
(20 – 2)/2 = 18/2 = 9 = 3c2 – 2c
3c2 – 2c – 9 = 0
Resolviendo:
De las dos soluciones la única que pertenece al intervalo ]1, 3[ es la positiva, luego ésta es la válida.
O bien:
Por ser aplicable el Teorema de Lagrange:
f'(c) = m → 3c2 – 2c = 9, y se llega a la misma conclusión.
Por tanto el punto buscado es:
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