Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 05

    Posted on octubre 5th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Determina m y n para que la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 05,1

    cumpla las hipótesis del teorema del valor medio (Lagrange) en el intervalo [2, 6]. ¿En qué punto cumple la tesis?

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Hipótesis: 

    Continuidad:

    La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de 4 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = 4, en donde la función cambia de expresión.

    TEOREMA DE LAGRANGE 05,3

    Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 05,4

    Por tanto:

    4m – 3 = 24 – n → 4m + n = 27 → n = 27 – 4m

    Derivabilidad:

    Para estudiar la derivabilidad se puede hacer de tres formas distintas:

    1ª forma: (Aplicando la definición)

    TEOREMA DE LAGRANGE 05,5

    Para que la función sea derivable en x = 4 se debe cumplir que f’(4) = f’(4+), por tanto:

    m = 2 → n = 27 – 4·2 = 19

    Luego, para que la función f(x) cumpla las hipótesis del teorema del valor medio (Lagrange) en el intervalo [2, 6], m = 2 y n = 19.

    2ª forma:

    TEOREMA DE LAGRANGE 05,6

    m = 2 → n = 19

    3ª forma:

    TEOREMA DE LAGRANGE 05,7

    Tesis: 

    TEOREMA DE LAGRANGE 05,8

    [f(6) – f(2)]/(6 – 2) = {[–(6)2 + 10·6 – 19] – [2·2 – 3]}/4 = (5 – 1)/4 = 1

    TEOREMA DE LAGRANGE 05,9

    Por tanto el valor predicho por el teorema de Lagrange es 9/2.

     

     


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