Teorema de Lagrange 04

Si f(x) una función cuadrática y [a, b] un intervalo cerrado arbitrario, demuestra que solamente existe un número c perteneciente a ]a, b[, tal que satisface la conclusión del teorema de Lagrange.

Solución:

Sea f(x) = mx² + nx + p que por ser polinómica es continua en todo R, por lo cual también lo será en [a, b] y f'(x) = 2mx + n es derivable en ]a, b[.

Como f’(x) es un polinomio de grado uno, la ecuación f’(c)·(b – a) = f(b) – f(a) tiene como máximo una solución.

Aplicando el teorema de Lagrange:

2mc + n = [(mb² + nb + p) – (ma² + na + p)]/(b – a)

2mc + n = (mb² + nb + p – ma² – na – p)/(b – a)

2mc + n = [m·(b² – a²) + n·(b – a)]/(b – a)

2mc + n = [m·(b + a)·(b – a) + n·(b – a)]/(b – a)

2mc + n = m·(b + a) + n

2mc = m·(b + a)

2c = b + a

c = (b + a)/2