Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 04

    Posted on octubre 1st, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Si f(x) una función cuadrática y [a, b] un intervalo cerrado arbitrario, demuestra que solamente existe un número c perteneciente a ]a, b[, tal que satisface la conclusión del teorema de Lagrange.

     

     

    Solución:

    Sea f(x) = mx2 + nx + p que por ser polinómica es continua en todo R, por lo cual también lo será en [a, b] y f'(x) = 2mx + n es derivable en ]a, b[.

    Como f’(x) es un polinomio de grado uno, la ecuación f’(c)·(b – a) = f(b) – f(a) tiene como máximo una solución.

    Aplicando el teorema de Lagrange:

    2mc + n = [(mb2 + nb + p) – (ma2 + na + p)]/(b – a)

    2mc + n = (mb2 + nb + p – ma2 – na – p)/(b – a)

    2mc + n = [m·(b2 – a2) + n·(b – a)]/(b – a)

    2mc + n = [m·(b + a)·(b – a) + n·(b – a)]/(b – a)

    2mc + n = m·(b + a) + n

    2mc = m·(b + a)

    2c = b + a

    c = (b + a)/2

     

     

     

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