Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 03

    Posted on septiembre 28th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 1

    en su dominio. Si no se pudiera, ¿dónde se podría?

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Dominio de la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 3

    Calculamos las raíces o soluciones de la ecuación:

    1 – x2 = 0

    x2 = 1

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 4

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 5

    Como el producto ha de ser mayor o igual que cero, o sea, cero o positivo la solución es [–1, 1].

    Por tanto el dominio es:

    D(f) = [–1, 1]

    Continuidad:

    La función dada es continua en todo su dominio.

    Derivabilidad:

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 6

    Como no existen las derivadas en los extremos del dominio la función no es derivable en [–1, 1], por lo tanto no se puede aplicar el teorema de Lagrange en dicho intervalo.

    Sin embargo sí se podría aplicar en ]–1, 1[.

    Todo esto nos aclarar por qué la condición de que la función sea continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, cuando sería más sencillo exigir, simplemente, que fuera derivable en [a, b], lo que conlleva la existencia de derivadas laterales. La respuesta es que existen funciones con tangente vertical, luego no derivables en alguno de los extremos, como en este caso, que no se beneficiarían de este importante teorema.   

     

     

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