Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 01

    Posted on septiembre 21st, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la función f(x) = |x2 – 4| en [0, 4]? Si es posible, halla el punto intermedio correspondiente.

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Podríamos preguntarnos por qué no pedir, únicamente, que la función sea derivable en [a, b] con lo cual  se exigiría la existencia de derivadas laterales, en vez de que f(x) sea continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. La respuesta es que existen funciones con tangente vertical, luego no derivables en alguno de los extremos, que no se beneficiarían de este importante teorema.   

    Nota:

    La tesis del Teorema del valor medio puede no cumplirse si hay algún punto de ]a, b[ en el que la derivada no existe.

    Continuidad:

    Busquemos los intervalos en donde el signo f(x) es positivo o negativo.

    x2 – 4 = 0 → x2 = 4

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,2

    TEOREMA DE LAGRANGE 01, TABLA

    Por tanto:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,3

    Es decir:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,4

    La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de –2 y de 2 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Quedaría, por tanto, estudiar la continuidad en x = –2 y en x = 2, en donde la función cambia de expresión, pero según el enunciado del problema únicamente hace falta saber la continuidad en [0, 4], luego solamente hace falta averiguar la continuidad en x = 2.

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,5

    Como:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,6

    la función es continua en x = 2.

    Por tanto f(x) es continua en [0, 4]

    Derivabilidad:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,7

    Como las derivadas laterales en x = 2 son diferentes (se trata de un punto anguloso), la función no es derivable en ]0, 4[, luego no se puede aplicar el teorema de Lagrange en [0, 4].

     

     


     

     

     

     

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