Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Cauchy 04

    Posted on septiembre 10th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Sean m y p dos números reales tales que 0 < m < p < π/2. Demuestra que:

    TEOREMA DE CAUCHY 4,1

    con m < c < p.

     

     

    Solución:

    Sean f(x) = cos x y g(x) = sen x, funciones que son continuas en [m, p] por serlo en todo R, y derivables en ]m, p[, cuyas derivadas son:

    f'(x) = –sen x                            g’(x) = cos x

    Veamos en qué puntos del intervalo [0, π] se anulan estas derivadas.

    TEOREMA DE CAUCHY 4,2

    Por tanto no se anulan simultáneamente en ]m, p[.

    g(m) = sen m         g(p) = sen n

    g(m) ≠ g(p)

    Luego se cumple el teorema de Cauchy, que dice:

    Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) ≠ g(a). Entonces, existe, al menos, un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE CAUCHY 01,1

    En este caso: a = m y b = p

    Por tanto:

    TEOREMA DE CAUCHY 4,4

     

     


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