El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas

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Teorema de Cauchy 03
Posted on septiembre 7th, 2015 No commentsSean: f(x) = sen x y g(x) = x + cos x. Estudia si cumplen el teorema de Cauchy en [0, 2π].
Solución:
Teorema de Cauchy:
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y f(b) ≠ f(a). Entonces, existe, al menos, un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que:
En este caso: a = 0 y b = 2π.
Ambas funciones son continuas en todo R, por tanto, también lo serán en [0, 2π].
f(2π) = 0 f(0) = 0
Las funciones f(x) y g(x) no cumplen el teorema de Cauchy en [0, 2π], ya que f(2π) = f(0). (El denominador de la primera fracción sería igual a cero)
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