Teorema de Cauchy 03

Sean: f(x) = sen x y g(x) = x + cos x. Estudia si cumplen el teorema de Cauchy en [0, 2π].

Solución:

Teorema de Cauchy:

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y f(b) ≠ f(a). Entonces, existe, al menos, un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que:

En este caso: a = 0 y b = 2π.

Ambas funciones son continuas en todo R, por tanto, también lo serán en [0, 2π].

f(2π) = 0                f(0) = 0

Las funciones f(x) y g(x) no cumplen el teorema de Cauchy en [0, 2π], ya que f(2π) = f(0). (El denominador de la primera fracción sería igual a cero)