Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Cauchy 02

    Posted on septiembre 3rd, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Siendo f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2 + 1, obtén el valor de c que cumple las condiciones del teorema de Cauchy, en [1, 4].

     

     

    Solución:

    Teorema de Cauchy:

    Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) ≠ g(a). Entonces, existe, al menos, un punto c Î ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE CAUCHY 01,1

    En este caso a = 1 y b = 4

    Continuidad:

    Por ser polinómicas las funciones f(x) y g(x) son continuas en todo R, por tanto, también lo serán en [1, 4].

     Derivabilidad:

    Derivadas de las funciones: f’(x) = 3 y g’(x) = 2x. Por tanto f(x) y g(x) son derivables en ]1, 4[.

    Si deseáramos comprobar la derivabilidad de ambas funciones para cualquier valor c perteneciente al intervalo ]a, b[, se podría hacer, por ejemplo, de la siguiente forma:

    TEOREMA DE CAUCHY 02,1

    Luego ambas funciones son derivables en]1, 4[ y sus derivadas no se anulan en ningún punto perteneciente a dicho intervalo.

    g(4) = 42 + 1 =17             g(1) = 12 + 1 = 2

    g(4) ≠ g(1)

    Por tanto, como se cumplen todas las condiciones del teorema de Cauchy, existe, al menos, un punto c perteneciente a ]1, 4[ tal que:

    TEOREMA DE CAUCHY 02,2

    f(4) = 3·4 + 2 =14            f(1) = 3·1 + 2 = 5

    (14 – 5)/(17 – 2) = 3/2c

    9/15 = 3/2c → 18c = 45 → c = 45/18 = 5/2

     

     

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