Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Cauchy 01

    Posted on agosto 31st, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Siendo f(x) = x2 + 2x – 3 y g(x) = x2 – 4x + 6, halla el valor de c que cumple las condiciones del teorema de Cauchy, en el intervalo [0, 1].

     

     

    Solución:

    Teorema de Cauchy:

    Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) ≠ g(a). Entonces, existe, al menos, un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE CAUCHY 01,1

    En este caso a = 0 y b = 1.

    Continuidad:

    Por ser polinómicas las funciones f(x) y g(x) son continuas en todo R, por tanto, también lo serán en [0, 1].

     Derivabilidad:

    Derivadas de las funciones:

    f'(x) = 2x + 2                  g’(x) = 2x – 4

    Por tanto f(x) y g(x) son derivables en ]0, 1[.

    g(0) = 6       g(1) = 12 – 4·1 + 6 = 3

    Luego:

    g(0) ≠ g(1)

    Por tanto, como se cumplen todas las condiciones del teorema de Cauchy, existe, al menos, un punto c perteneciente a ]1, 0[ tal que:

    TEOREMA DE CAUCHY 01,2

    f(0) = –3      f(1) = 12 + 2·1 – 3 = 0

    [0 – (–3)]/(3 – 6) = (2c +2)/(2c – 4)

    –1 = (c + 1)/(c – 2)

    –c + 2 = c + 1

    2c = 1 → c = 1/2

    Nos falta comprobar que f’(1/2) es diferente de cero.

    g’(1/2) = 2·(1/2) – 4 = –3

     

     


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