Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Rolle 17

    Posted on agosto 24th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Usando el teorema de Bolzano y el de Rolle prueba que la ecuación x3 + x2 – 1 = 0 tiene una, y sólo una, solución entre los números positivos.

     

     

    Solución:

    Sea la función f(x) = x3 + x2 – 1, continua y derivable en todo R por ser función polinómica.

    Busquemos un intervalo en el que la función tome valores de signo contrario en sus extremos. Por ejemplo:

    f(0) = –1 < 0

    f(1) = 1 + 1 – 1 = 1 > 0

    Por tanto, según Bolzano, existe un valor c perteneciente a ]0, 1[ tal que f(c) = 0, es decir, que la ecuación dada tiene, al menos, una solución, que sería: c3 + c2 – 1 = 0.

    Teorema de Rolle:

    Como f'(x) = 3x2 + 2x es positiva para todo x mayor que cero, f es estrictamente creciente luego no se puede aplicar Rolle. La función posee una única raíz entre los números reales positivos. Por tanto, la ecuación tiene una solución única

    (El único punto donde la función corta al eje OX es en el previsto por Bolzano, que es la única solución de la ecuación dada)

    Para probar que la solución es única, también se puede hacer de la siguiente forma:

    Supongamos que hay dos soluciones: c1 y c2, siendo c1 < c2 y [c1, c2] es un subconjunto de ]0, +∞[.

    Como f(x) es continua en [c1, c2] y derivable en ]c1, c2[ y f(c1) = f(c2), según Rolle, existe un valor x0 perteneciente al intervalo ]c1, c2[ tal que f’(x0) = 0.

    Por tanto:

    3x02 + 2x0 = 0 → x0·(3x0 + 2) = 0

    Las soluciones de la anterior ecuación son x0 = 0 y x0 = –2/3, cosa que es un absurdo, luego  contradice la hipótesis y no existen dos soluciones.

    Por lo tanto sólo existe una raíz, la prevista por Bolzano.

     

     


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