Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Rolle 16

    Posted on agosto 20th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = |cos x| en el intervalo [0, π].

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

    Por tanto las condiciones del teorema son:

    f(x) es continua en [a, b]

    f(x) es derivable en ]a, b[

    f(a) = f(b)

    Continuidad:  

    Estudiemos el signo de f(x) en el intervalo [0, π].

    cos x = 0 → x = π/2

    TEOREMA DE ROLLE 16,1

    Por tanto:

    TEOREMA DE ROLLE 16,2

    La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de π/2, pues f(x) = cos x es continua en todo R, luego también  lo es en [0, π].

    Nos falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = π/2, en donde la función cambia de expresión.

    TEOREMA DE ROLLE 16,3

    Como:

    TEOREMA DE ROLLE 16,4

    la función es continua en x = π/2.

    Por tanto f(x) es continua en [0, π].

    Derivabilidad:

    Estudiemos la derivabilidad en ]0, π[.

    TEOREMA DE ROLLE 16,5

    En x0 = π/2  la función no es derivable (se trata de un punto anguloso), por tanto no se verifica el teorema de Rolle.

     

     


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